Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции

В практике большое значение имеют так называемые задачи на экстремум: раскрой материала с минимум отходов, обеспечение максимума дальности полёта ракеты при минимуме расхода топлива, максимум прибыли при минимуме затрат и т.д. При решении таких задач требуется найти наибольшее и наименьшее значение некоторых функции. Эти задачи – задачи на оптимизацию, вызывают наибольшую трудность у учащихся.

В учебнике Мордковича А.Г. предлагается схема, по которой будут решаться такие задачи. Данная схема состоит из трёх этапов математического моделирования:

Составление математической модели

Работа с моделью

Ответ на вопрос задачи

Конечно, целесообразно подвести учащихся к данной схеме. Для этого можно рассмотреть ряд задач, аналогичных следующим.

Задача №1. Дана функция f(x) = x2, точка А(0;1,5). Найдите расстояние от точки А до М, если известно, что точка М принадлежит графику данной функции и имеет абсциссу равную 2.

Решение: М(2;4), т.к. принадлежит графику функции f(x) = x2.

АМ =

Ответ:

Во второй задаче условие немного меняется и задача усложняется.

Задача №2. Дана функция f(x) = x2, точка А(0;1,5). Найдите координаты точки М, если известно, что она принадлежит графику данной функции и расстояние от точки М до А равно 1,5.

Решение: Пусть абсцисса точки М равна х, тогда ее ордината равна х2, т.к. М принадлежит графику функции f(x) = x2. Расстояние между точками вычисляется по формуле АМ = Подставим в формулу координаты точек А и М. АМ 2 = (x – 0)2 + (x2 – 1,5)2;

Т.к. по условию, расстояние равно 1,5, составляем и решаем уравнение.

x2 + (x2 - 1,5)2 = 2,25.

x2 + x4 – 3 x2 + 2,25 – 2,25 = 0

x4 – 2x2 = 0

x1 = 0; x2 = ; x3 =

Ответ: (0;0), (; 2); (; 2);

Ну а третья задача подводит учащихся непосредственно к алгоритму

Задача №3. Дана функция f(x) = x2, точка А(0;1,5). Найдите на графике данной функции координаты М, ближайшей точки к точке А.

Решение:

Решение начинаем так же, как и в задаче №2, вводя переменную x.

Пусть абсцисса точки М равна х, тогда ордината – х2, т.к. М принадлежит графику функции f(x) = x2. Расстояние АМ вычисляется по формуле АМ =

Подставляем координаты точек в формулу.

АМ 2 = (x – 0)2 + (x2 – 1,5)2, но, в отличие от предыдущей задачи, мы не знаем числового значения АМ, а значит, не можем составить уравнения.

Но зато мы знаем, что АМ должно быть наименьшим. А это очень важно. Отмечается, что в жизни часто приходится решать задачи на нахождение оптимальной величины, т.е. задачи, в которых при наименьших затратах необходимо получить наилучший результат. Например, какие размеры должны быть у садового участка прямоугольной формы заданной площади, чтобы материальные затраты на забор были наименьшими? Какие размеры должен иметь цилиндрический бак, чтобы при заданных затратах материала его объем был наибольшим? Указывается, что именно такая задача сейчас стоит перед нами. И предлагается её решить.

Таким образом перед учащимися ставится проблема решении задачи.

Сравнивая условия обеих задач, учащиеся видят, что они очень похожи. Дана функция, координаты точки А. Надо найти координаты точки М, если что-то известно про расстояние АМ. В частности в первой задаче дано числовое значение АМ и мы можем, составив уравнение, ответить на вопрос задачи. А во второй задаче известно, что расстояние АМ должно быть наименьшим. Как учесть это условие и ответить на поставленный вопрос? (вопрос к классу, ребята высказывают свои версии, предположения, пока не дойдут до истины)

Следует отметить, что необходимо ввести функцию

y(x) = АМ 2 = (x – 0)2 + +(x2 – 1,5)2 и исследовать ее на наибольшее и наименьшее значения с помощью производной.

Т.о. рассматривается функция

y(x) = x2 + (x2 – 1,5)2 = x2 + x4 – 3x2 + 2,25= x4 - - 2x2 + 2,25 (x)

Функция непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой.

y'(x) = 4x3 – 4x. Находим стационарные точки (критических точек нет).

y' (x) = 0; 4x3 – 4x = 0; x1 = 0; x2 = 1; x3 = -1. Отмечаем их на числовой прямой, расставляем знаки производной в полученных промежутках и делаем вывод о монотонности функции и о ее точках экстремума. Получили, что xmin = 1; xmin = -1; xmax = 0;

Т.к. при x = 1 и x = -1 функция y(х) принимает наименьшее значение, то именно эти значения являются искомыми, т.е. расстояние АМ будет наименьшим, если абсцисса точки М либо равна 1, либо -1, т.е. М имеет координаты либо (1;1), либо (-1;1).

Ответ: (1;1), (-1;1).

После решения данной задачи учитель просит проговорить этапы решения задачи, в результате чего составляется алгоритм.

При решении подобных задач полезно подчеркнуть, что она принадлежит к обширному классу более общих задач, называемых изопериметрическими. В свою очередь, обобщение этого класса задач привело к созданию целой области математики, называемой вариационным исчислением. Основы этого раздела математики были заложены Л.Эйлером.

Но ученики не должны думать, что задачи на оптимизацию решаются только с использованием производной. Для нарушения стереотипа мышления неплохо было бы показать им один-два примера, где наибольшее или наименьшее значения функции можно найти и без помощи производной, с помощью элементарных алгебраических или геометрических рассуждений. Вот одна из таких задач.

Задача: Из всех треугольников с данным основанием a и данным углом α при вершине найти треугольник с наибольшей биссектрисой, проведённой к основанию.

Решение. Первый способ(аналитический)

Оптимизируемая величина – длина биссектрисы AD (рис.1); обозначим её буквой y

Объявим независимой переменной угол C, обозначим его буквой x; реальные границы изменения x таковы: 0 < x < α

По теореме синусов (для треугольника ABC) имеем:

Значит, AB=

Теперь применим теорему синусов к треугольнику

ABD:

Отсюда находим, что

Для функции надо найти на интервале (0; π-). Это сопряжено с определенными техническими трудностями (например, связанными с дифференцированием функции, с решением соответствующего тригонометрического уравнения).