Межпредметные связи физики и музыки

_ A Q

_

_

N B

Рис. 1

За время dt, точка Q проходит участок струны a'dt, так что скорость массы ra'dt на приведённую выше величину. Это есть результат возбуждения поперечной силы

Py'2- Py'1 = - PLb/a(L-a) (6.5)

где P –натяжение, действующее в течение времени dt.

Приравнивая изменение количества движения импульсу силы, находим

a2 =P/r=V2 (6.6)

Точка Q раз

рыва наклона струны должна перемещаться направо и налево со скоростью c. Предположим, что точка Q начинает своё перемещение из A в момент t=0 и что b вначале положительно. Наблюдения Гельмгольца показали, что скорость в точке x, а именно

y'2=(L – x) d/dt (b/(L - a))=(L - x)c d/da(b/(L - a)) (6.7)

постоянна в течение промежутка времени x/c, откуда

b=ca(L- a) (6.8)

аддитивная постоянная отсутствует, т.к. b должна обращаться в нуль вместе с a. Это уравнение дуги параболы, проходящей через точки A и B. Поэтому все условия задачи будут удовлетворены, если предположить, что точка Q движется взад и вперёд вдоль двух таких дуг со скоростью c так, как это показано на рис.1. Подставляя значение максимального смещения b0, получим

C=+-4b0/L2 (6.9)

и уравнение обоих участков струны в любой момент времени имеет вид

y1=4b0(L - a)x/L2 (6.10)

y2=4b0(L - x)a/L2 (6.10')

Остаётся разложить это колебание на его гармонические составляющие, что даёт следующий результат:

y=8b0/p2 S½sin(spx/L)sin(s(pct/L) (6.11)

где суммирование производится по всем целым положительным значениям s.

Наиболее простой случай вынужденных колебаний осуществляется путём сообщения струне в некоторой точке (x=a) заданного гармонического движения

y=bcos(Pt+a) (6.12)

Участки струны по обе стороны от этой точки следует рассматривать отдельно. Решениями будут

y1=sin(Px/c)bcos(Pt+a)/sin(Pa/c) [0<x<a] (6.13)

y2=sin(P(L-x)/c)bcos(Pt+a)/sin(P(L-a)/c) [a<x<L] (6.13')

т.к. они удовлетворяют общему дифференциальному уравнению (6.1) для x=0 и x=L дают y1=0 и y2=0, а для x=a сводятся к (6.12). Амплитуды y1 и y2 сильно возрастают, вследствие малости знаменателя, когда Pa/c или P(L-a)/c приблизительно равны величине, кратной p, т.е. когда период вынужденных колебаний 2p/P приблизится к периоду собственных колебаний струны длиной a или (L-a) соответственно. Чтобы получить для этих случаев результат, имеющий практическое значение, следует учесть диссипативные силы.

Рассматриваемый случай можно осуществить, прижимая ножку камертона к фортепьянной струне. Звук сильно возрастает каждый раз, когда какая-либо из собственных частот участка струны между точкой соприкосновения и любым из её концов совпадает с собственной частотой колебаний камертона. Этот метод предложен Гельмгольцем как способ получения чистых тонов, т.к. высшие собственные частоты камертона не гармоничны по отношению к основной частоте и поэтому не усиливаются. Если на струну действует поперечная сила и на единицу длины приходится сила I, то уравнение (6.1) можно записать как

r¶2y/¶t2=(P¶2y/¶x2)+I (6.14)

Вообще I может зависеть одновременно и от x и от t.

Случай периодической силы Fcos(Pt+a), сосредоточенной на бесконечно малом отрезке струны вблизи x=a, можно вывести из (6.13) и (6.13'). Величину b можно выразить через F, исходя из условия точного уравновешивания силы натяжения струны в этой точке; при x=a должно быть

Fcos(Pt+a)=Py'1 - Py'2 (6.15)

Отсюда получаем

y1=csin(Px/c) sin(p(L-a)/c) Fcos(Pt+a)/P2sin(PL/c) (6.16)

y2=c sin(Px/c) sin(p(L-x)/c) Fcos(Pt+a)/P2sin(PL/c) (6.16')

Как правило, амплитуда сильно возрастает, когда величина sin(PL/c) мала, т.е. когда период вынужденных колебаний приближается к одному из периодов собственных колебаний всей струны. В случае, когда одновременно sin(Pa/c)=0 и sin(PL/c)=0, имеет место неопределённость, точка x=0 при этом совпадает с узлом.

Силы трения между смычком и струной – это силы сухого трения. Можно говорить о силах трения покоя и трениях скольжения. Первая сила возникает между соприкасающимися, но неподвижными друг относительно друга телами, вторая – при скольжении одного тела по поверхности другого.

Сила трения покоя всегда равна по величине и противоположна по направлению внешней силе. Сила трения скольжения зависит от материала тел и от состояния трущихся поверхностей, а также от относительной скорости этих тел.

При начальном движении смычка струна отклоняется вместе с ним. При этом сила трения покоя уравновешивается силами натяжения струны. Равнодействующая F сил натяжения пропорциональна отклонению струны x от положения равновесия:

F=2Tsina=4T0x/l

где l –длина струны, а T0 –сила натяжения струны, которую при малых отклонениях можно считать постоянной. Поэтому при движении струны вместе со смычком сила F будет расти, и в тот момент, когда она станет равной максимальной силе трения покоя, начнётся проскальзывание.

В момент срыва скорость струны равнялась скорости смычка, и в начале струна будет продолжать отклоняться в сторону движения смычка. Но теперь равнодействующая сила натяжения ничем не скомпенсирована, поэтому она будет тормозить движение струны, замедляя его. В какой-то момент скорость струны упадёт до нуля, затем струна начнёт двигаться обратно; после максимального отклонения от положения равновесия в противоположную начальной сторону струна опять будет двигаться в сторону движения смычка. А смычок будет двигаться равномерно со скоростью u. В некоторый момент скорости струны и смычка сравняются. При этом между струной и смычком проскальзывания уже нет, и появляется сила трения покоя, равная равнодействующей сил натяжения.

При дальнейшем движении струны до положения равновесия силы натяжения уменьшатся, и соответственно уменьшается сила трения покоя. После прохождения струной положения равновесия процесс повторяется. Таким образом, мы получаем незатухающие колебания.

Осуществление межпредметных связей физики и музыки при изучении темы «Колебания и волны»

В курсе средней общеобразовательной школы колебания и волны целесообразно не объединять вместе, а изучать в соответствующих разделах – механические колебания и волны при изучении механики, а электромагнитные – при изучении электродинамики.

Межпредметные связи физики и музыки удобно осуществлять при изучении акустических явлений, т.е. звуковых колебаний и волн. Изучение акустических явлений, т.е. распространения в упругой среде механических колебаний, способствует расширению понятия волны – от волн, непосредственно воспринимаемых визуально, до невидимых. Это в какой-то мере готовит учащихся к восприятию физической сущности электромагнитных волн. Кроме того, при изучении звуковых явлений можно закрепить те знания учащихся о волнах и их характеристиках, которые к тому времени они имеют.

По программе Громова С.В. на изучение звуковых колебаний и волн в восьмом классе выделяется два часа, мы считаем, что этого количества часов недостаточно, т.к. звуковые явления разнообразны и рассмотрение их физической природы требует особого внимания, поэтому предлагается выделить шесть часов, что позволит более детально изучить звуковые явления. Так как запланировано меньшее количество часов, можно использовать внеклассные занятия, или резервные часы.