Межпредметные связи физики и музыки

Если внешние силы действуют на систему с одной степенью свободы, обобщённая координата которой есть q, то работу, произведённую ими при бесконечно малом изменении конфигурации пропорционально q, можно обозначить через Qdq. Q – обобщённая сила, действующая на систему относительно обобщённой координаты q. Например: если q –угловая координата тела, которое может вращаться вокруг своей оси, то Q –м

омент внешних сил относительно этой оси. Отсюда следует, что при любом реальном движении системы, мощность внешних сил равна Qq'. Уравнение энергии принимает теперь следующую форму:

d/dt(T+f)=Qq' (4.1)

или

aq"+ ½ (da/dq)q'²+df/dq=Q (4.1')

Рассматривая малые колебания около положения равновесия, можно как и прежде пренебречь членами второго порядка. Подставив получим:

aq"+cq=Q (4.2)

Если Q –гармоническая сила, например сила пропорциональная cos((t), то вынужденные колебания выражаются функцией

q=Q/(c-w²a) (4.3)

Когда w очень мало q=Q/c. Это значение можно назвать статистическим или «равновесным» значением смещения; это – статистическое смещение, которое было бы создано постоянной силой, равной мгновенному значению Q. Другими словами, это то смещение, которое сила создавала бы в системе, лишённой инерции (a=0).[11]

Если на систему действуют две или более гармонических вынуждающих сил, результирующее вынужденное колебание получится путём простого сложения. Так например, вынужденная сила

Q=А 1cos(w1t+j1)+А2cos(w2t+j2)+… (4.4)

Вызовет вынужденные колебание

q=(А1/(w2 – j12)) cos(w1t+j1)+(А2/(w2 – j22)) cos(w2t+j2)+… (4.5)

Заметим, что из-за различия знаменателей, амплитуды отдельных членов этого выражения не пропорциональны амплитудам соответствующих членов в выражении для Q.

2.3 Уравнения колебания струны

Будем считать, что струна обладает постоянной линейной плотностью r и растянута силой натяжения P. Направление оси x выберем вдоль положения равновесия струны, через y обозначим поперечное отклонение в точке x в момент времени t. Предполагается, что угол наклона ¶y/¶x кривой, образованный струной в любой момент времени t, настолько мал, что изменением натяжения можно пренебречь. При этих условиях уравнением движения элемента dx будет

rdx ¶2y/¶t2 =dPsin(j) (5.1)

где j - угол наклона касательной относительно оси x. Действительно, правая часть представляет собой разность проекций в направлении y натяжения на обоих концах элемента. [15] На основании только что сделанного предположения можно положить

sinj < tg j = ¶y/¶ x (5.1')

так что уравнение (1) можно переписать

¶2y/¶t2=V2 ¶2y/¶t2 (5.2)

где V2=P/r, где V – скорость. Кинетическая энергия любого участка струны выражается интегралом

T=1/2 ròy'2dx (5.3)

взятым в соответствующих пределах. Потенциальную энергию можно вычислить двумя способами: 1) можно представить, что струна перемещается из состояния покоя в положении равновесия, в состояние покоя в любом другом заданном положении при помощи приложенных к ней поперечных сил. Для простоты предполагаем, что на любой стадии этого процесса все ординаты находятся в постоянном отношении (K) к своему конечному значению y, так что последовательные формы струны отличаются только по амплитудам силы, которая должна быть приложена к элементу dx, для того чтобы уравновесить натяжение на его концах, есть

-¶/¶x (Psinj)dx

синусу j следует положение равное K¶y/¶x при увеличении K на dx приращение смещения равно ydK. Полная работа, выполненная над этим элементом, поэтому будет равна:

-Pyy" dx 0ò1 Kdk= -1/2 Pyy"dx (5.4)

а потенциальная энергия

f=-1/2 P òyy" dx (5.5)

Пользуясь вторым методом, мы вычислим работу, произведённую при растяжении струны против натяжения P. Увеличение длины элемента dx приблизительно равно

Ö1+y'2 dx - dx=1/2 y'2dx (5.6)

так что

f=1/2 P'òy'2dx (5.7)

Эти выражения дают одинаковые результаты, когда интегрирование выполнено по всей возможной длине струны. Действительно при интегрировании по частям получим:

-òyy''dx= -[yy']+òy'2dx (5.8)

Первый член справа относится к значениям на пределах интегрирования струны. Он исчезает на концах возможного участка, т.к. здесь y равно нулю.

Колебания скрипичной струны

Теория колебания струны, возбуждаемой действием смычка, довольно сложна, однако основные моменты этой теории были выяснены Гельмгольцем. Поскольку высота тона оказывается соответствующей собственной частоте струны, колебания могут, в известном смысле, считать «свободными», функция смычка заключается в поддерживании движения путём сообщения струне энергии. В скрипке и других инструментах, у которых струны сделаны из лёгкого материала и опираются на подставку, укреплённую на поверхности, очень легко приводимой в движение (крышка резонансной полости), потери энергии могут быть относительно велики. Действие смычка состоит в том, что благодаря трению, он в течение некоторого времени увлекает за собой струну, затем струна отрывается от смычка и отходит назад под действием собственной упругости; после некоторого промежутка времени смычок снова захватывает струну и ведёт её вперёд и т.д., причём полный цикл занимает период свободного колебания.

Чтобы получить данные для материального исследования, Гельмгольц начал с экспериментального изучения характера колебаний в различных точках. Период колебаний наблюдаемой точки слагается из двух промежутков времени, обычно неравной длительности, в течении которого точка движется взад и вперёд, соответственно, с постоянными, но, вообще говоря, неравными скоростями. Далее, установлено, что отношение обоих промежутков времени равно отношению двух отрезков, на которые струна делится в этой точке. Эти результаты подтверждены исследованиями в результате которых получили временной график зависимости пути, проходимого точкой, более непосредственным способом. Для получения чётких кривых следует принять некоторые меры предосторожности. Многое зависит от умелого пользования смычком и от качества инструмента. Чтобы избежать неудачных искажений графика, смычок должен касаться струны в узле одной из гармоник, а наблюдаемая точка должна находиться в другом узле той же гармоники. За исключением тех двух моментов, в каждом периоде, когда происходит внезапное изменение скорости, ускорение наблюдаемой точки равно нулю. Из уравнения

¶2y/¶t2=V2¶2y/¶x2 (6.1)

следует, что вблизи P кривизна струны должна быть равна нулю, и, значит, в любой момент форма, принимаемая струной, составлена из прямых отрезков. Оказывается, что можно удовлетворить всем условиям задачи, предположив, что форма струны всегда состоит из двух таких отрезков, пересекающихся в некоторой переменной точке Q.

Пусть на рис.1 AB=L –невозможное положение струны и пусть a= AN и b=NQ.

Уравнение обоих участков струны будут:

y1=bx/a (6.2)

y2=b(L-x)/(L-a) (6.3)

и разность между скоростями точек, лежащих вблизи точки Q по обе стороны от неё равна:

y'1 - y'2= - Lba'/a(L - a) (6.4)