Функциональная пропедевтика на уроках математики в пятых-шестых классах

Чтобы сформировать у учащихся способность к выводу формул, нужно научить их записывать различные утверждения на математическом языке (в виде равенств):

- ручка в три раза дороже карандаша (р = к + 3);

- число а при делении на 5 дает в остатке 2 (а = 5 · b + 2);

- длина прямоугольника на 12 см больше ширины (а = b + 12).

Обязательным условием является обсуждение возможных вариант

ов значений данных величин с заполнением соответствующих таблиц.

Особое место в курсе Л.Г. Петерсон занимают задания, связанные с математическими исследованиями:

Представь число 16 в виде произведения двух множителей разными способами. Для каждого способа найди сумму множителей. В каком случае получилась меньшая сумма? Проделай это же с числами 36 и 48. Каково предположение?

При выполнении подобных заданий (на исследование зависимости между количеством углов многоугольника и суммарным значением градусных мер углов, между значением периметра различных по форме фигур с одинаковой площадью и пр.) учащиеся совершенствуют навыки работы с таблицей, так как решение удобно фиксировать в таблице. Кроме этого табличный способ фиксации решения используется при решении нестандартных математических задач методом упорядоченного перебора или рационального подбора.

В классе 13 детей. У мальчиков столько зубов, сколько у девочек пальцев на руках и ногах. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек? (У каждого мальчика ровно 32 зуба).

Обучение математике по программе Л.Г. Петерсон обеспечивает усвоение учащимися взаимосвязи между результатами и компонентами арифметических действий, формируется представление о «скорости» изменения результата арифметических действий в зависимости от изменения компонентов:

- упражнения на состав числа;

- частные приемы вычислений (36 + 19 = 35 + 20; 36 – 19 = 37 – 20; 12 · 5 = 12 · 10 : 2);

- оценка суммы, разности, произведения, частного.

При выполнении подобных заданий важно представлять информацию многосенсорно.

Как изменится сумма, если одно слагаемое увеличить на 10, а второе уменьшить на 5?

Как изменится площадь прямоугольника (или произведение двух чисел), если одну из сторон (одно из чисел) увеличить на 3?

Наши исследования показывают, что значительная часть учащихся выполняют подобные задания методом подстановки конкретных числовых значений. Методически грамотным в данной ситуации будет графически и аналитически интерпретировать условие.

(а + 3) · b = а · b + 3 · b

Понятие функции в старших классах связано с системой координат. В курсе Л.Г. Петерсон содержится материал для пропедевтической работы в этом направлении:

- числовой отрезок, числовой луч, координатный луч;

- таблица Пифагора, координаты на плоскости (координатный угол);

- графики движения;

- круговые, столбчатые и линейные диаграммы, наглядно представляющие зависимость между дискретными величинами.

Итак, изучение арифметических операций, увеличения и уменьшения числа на несколько единиц или в несколько раз, зависимости между компонентами и результатами арифметических действий, решение задач на нахождение четвертого пропорционального, на связь между скоростью, временем и расстоянием; ценой, количеством и стоимостью; массой отдельного предмета, их количеством и общей массой; производительностью труда, временем и работой; и т. д., с одной стороны, лежат в основе формирования понятия функции, а с другой – изучаются на основе функциональных понятий. Следует отметить, что достаточно большое пропедевтическое значение имеет графическое моделирование: графическая интерпретация условия задачи, рисунок, чертеж и другое. Информация, представленная в графической форме, легче для восприятия, емкая и достаточно условная, призвана опредмечивать абстрактные понятия, нести информацию лишь о существенных признаках объекта, формировать графические навыки учащихся.

Обобщая, отметим, что основные цели изучения учебного содержания функциональной линии курсов Л.Г. Петерсон и Н.Я. Виленкина:

1) развитие функционально-аналитического мышления школьников, характеризующегося способностью рассматривать объекты, в том числе и математические, во взаимосвязи и взаимозависимости;

2) формирование у учащихся способности к выражению зависимости между величинами разными способами (таблично, аналитически, графически).

Кроме этого, результатом пропедевтики функциональной зависимости должна стать высокая умственная активность младших школьников, развитие интеллектуальных, общепредметных и специфических математических умений и навыков. Все это создает прочную основу не только для решения методических проблем начальной математики – формирование вычислительных навыков, умения решать текстовые задачи и др., но и для реализации развивающих возможностей математического содержания и, что не менее важно, для успешного изучения функций в средней школе.

Итак, чтобы подготовить учеников к сознательному усвоению идеи функциональной зависимости, понятий функции и уравнения в VII и более старших классах школы, необходимо заранее и постепенно подготовить их к знакомству с этими понятиями.

В плане подготовки должны быть использованы всевозможные упражнения, которые не ведут непосредственно к каким-либо обобщениям, но доступны ученикам младших классов и могут служить для накопления ими опыта. Этот опыт будет создавать у них необходимые представления, ведущие к образованию соответствующих понятий на конкретной числовой и графической основе. Далекие от обобщений и специальной терминологии, эти упражнения должны помочь учащимся выяснить, что рассматриваемое ими одно и то же выражение может приобретать различные значения в зависимости от числовых значений входящих в него букв. Эти упражнения должны помочь учащимся понять различные способы выражения функциональных зависимостей.