Функциональная пропедевтика на уроках математики в пятых-шестых классах
- упорядочение имеющихся представлений о функции, развёртывание системы понятий, характерных для функциональной линии (способы задания и общие свойства функций, графическое истолкование области определения, области значений, возрастания и т.д. на основе метода координат);
- глубокое изучение отдельных функций и их классов;
- расширение области приложений алгебры за счёт включения в неё
идеи функции и разветвлённой системы действий с функцией.
Первоначально понятие функции как аналитического выражения сложилось в первой половине XVIII века в связи с бурным развитием производительных сил. Термин функция ввёл И. Бернулли в 1718 году. Л. Эйлер предложил в 1748 году определение функции как аналитического выражения.
В общем виде определение функции было дано Н.И. Лобачевским в 1834 году. В современной формулировке: «Если каждому допустимому значению переменной величины х соответствует определённое значение переменной величины у, то х называется независимой переменной, а у – функцией от х».
В этой формулировке слово «соответствует» не говорит о виде зависимости переменных величин. Оно может быть задано описанием; например, чтобы находить последовательные цифры при извлечении квадратного корня из положительного числа, имеется определённый алгоритм.
Идея функциональной зависимости находит свое отражение не только в математике, но и в ряде других наук - физике, химии, биологии, медицине, истории, кибернетике. Велика роль функции как мощного аппарата в познании процессов, происходящих в реальном мире. Знание функциональных зависимостей помогает найти ответы на разнообразные вопросы - от расшифровки памятников древности до управления сложнейшими производственными процессами. Наблюдая веками явления природы, человек замечал соответствие между ними. Систематизируя и обобщая устойчивые взаимосвязи в природе, он познал закономерности и учился применять их для объяснения разнообразных явлений природы. Математическими моделями таких закономерностей и являются функции.
Понятия соответствия и однозначного аналитического выражения функции не противопоставляются, второе просто частный случай первого.
Соответственно можно к понятию функции подвести:
1) рассматривая однозначные аналитические выражения зависимостей;
2) дав примеры соответствия между величинами, не записанными аналитически.
Из алгебры аналитические выражения зависимостей у=ах, у=а/х, у=ах+в и другие; из геометрии – формулы площадей и объёмов, в которых зависимость задана тоже аналитически.
Рассмотрим зависимости, заданные не аналитически. Например, можно взять результат наблюдения температуры воздуха:
6 часов: -2о
7 часов: 0о
8 часов: +1о
9 часов: +1,5о
10 часов: +3о
11 часов: +5о
12 часов: +6,5о
13 часов: +7,5о
14 часов: +8о
15 часов: +8,6о
16 часов: +7о
17 часов: +5о
Рассматривая пары значений времени и температуры и устанавливают, что каждому значению времени наблюдения соответствует определённое значение температуры. В данном случае температура – функция времени.
Понятие функции является одним из понятий, отражающих взаимосвязи явлений и предметов. Это одно из важнейших понятий математики, исходное понятие ведущей её области – математического анализа.
Определение: Функцией называется такая зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению x соответствует единственное значение y.
Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а y – зависимой переменной. Говорят также, что y является функцией от x. Значение y, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.
Чтобы задать функцию, нужно задать числовое множество Х (его называют областью определения функции) и способ (правило), с помощью которого для каждого числа x из множества Х можно найти соответствующее число у – значение функции.
Функции принято обозначать буквами f, g, h и др. Если f – функция, то значение переменной у, соответствующее аргументу х, обозначают f(x), т.е. y=f(x).
Чаще всего функции задают с помощью формул, указывающих, как по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции. Например, если длина стороны квадрата равна x дм, а площадь y дм2 , то формула y=x2 задаёт функцию, областью определения которой будет множество положительных действительных чисел.
Если куплено х тетрадей, по 3 рубля каждая, а у рублей – стоимость всей покупки, то формула у=3х задаёт функцию, область определения которой есть множество целых неотрицательных чисел.
Иногда функцию задают таким образом:
у= 3х-1, при х>0;
2х, при х≤0,
т. е. на разных участках значений х функция задаётся различными формулами.
Часто при задании функции с помощью формулы её область определения не указывается. В таких случаях считают, что область определения состоит из всех значений переменной, при которой эта формула имеет смысл. Никогда не следует забывать, что формула – это не сама функция, а лишь один из способов её задания. Следует отметить, что функцию можно задать и просто описанием. Например: каждому числу х поставить в соответствие его целую часть, т. е. у=[х].
Иногда функцию задают в виде таблицы. Примером табличного задания функции будет зависимость точки кипения воды от атмосферного давления:
Давление (мм) |
300 |
350 |
400 |
450 |
500 |
550 |
600 |
650 |
700 |
Температура (°С) |
75,8 |
79,6 |
83,0 |
85,8 |
88,5 |
91,2 |
93,5 |
95,7 |
97,6 |
Приведём ещё пример зависимости длины пружины от растягивающей её силы (данные получены эмпирическим путём):
Растягивающая сила (кг) |
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
Длина пружины (см) |
13,0 |
14,2 |
15,4 |
16,6 |
17,8 |
19,0 |
При табличном задании функции можно находить и промежуточные значения переменных с помощью линейного интерполирования, но приближённо.
Многие приборы записывают непрерывно показания графически, например, термографы, барографы, сейсмографы, кардиографы и др.
В качества примера хорошо продемонстрировать учащимся запись барографа или термографа.
Другие рефераты на тему «Педагогика»:
- Исследование лидерства у школьников
- Вопросы воспитания в системе образования в творчестве Низами Гянджеви
- Эффективность использования логоритмики у детей старшего дошкольного возраста
- Сказка как средство развития личности ребенка
- Проблемы воспитания культуры межнационального общения и толерантного поведения в высшей школе
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Тенденции развития системы высшего образования в Украине и за рубежом: основные направления
- Влияние здоровьесберегающего подхода в организации воспитательной работы на формирование валеологической грамотности младших школьников
- Характеристика компетенций бакалавров – психологов образования
- Коррекционная программа по снижению тревожности у детей младшего школьного возраста методом глинотерапии
- Формирование лексики у дошкольников с общим недоразвитием речи
- Роль наглядности в преподавании изобразительного искусства
- Активные методы теоретического обучения