Практические приложения алгебры высказываний

Например, равносильны формулы:

Формула А называется тождественно истинной (или тавтологией), если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее переменных.

Например, тожественно истинны формулы

Формула А называется тождественно ложной (или противоречием), если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в нее высказываний.

Например, тождественно ложна формула .

Формула А называется выполнимой, если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее высказываний.

Например, выполнима формула .

Ясно, что отношение равносильности рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Между понятиями равносильности и операцией существует следующая связь: если формулы А и В равносильны, то формула АВ - тавтология, и обратно, если формула АВ - тавтология, то формулы А и В равносильны.

Важнейшие равносильности алгебры высказываний можно разбить на следующие группы.

1.Равносильности алгебры Буля:

1.Закон двойного отрицания:

2. Коммутативность:

3. Ассоциативность:

4. Дистрибутивность & относительно:

5. Дистрибутивность относительно &:

6. Законы де Моргана:

7. Законы поглашения:

8. Законы идемпотентности:

9. Свойства констант:

10. Закон противоречия:

11. Закон исключения третьего:

2. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие:

12.

13.

14.

15.

16.

17.

1.3 Нормальные формы

Основной из задач алгебры высказываний является проблема разрешения, т.е. является ли данная формула тавтологией или противоречием или выполнимой формулой. Эта проблема легко решается с помощью нормальных форм.

Определение 1. Элементарной конъюнкцией п высказываний называется конъюнкция высказываний или их отрицаний.

Определение 2. Элементарной дизъюнкцией п высказываний называется дизъюнкция высказываний илиих отрицаний.

Теорема 1. Чтобы элементарная дизъюнкция была тождественно истинной, необходимо и достаточно, чтобы в ней содержалось два высказывания, из которых одно является отрицанием другого.

Теорема 2. Чтобы элементарная конъюнкция была тождественно ложной, необходимо и достаточно, чтобы в ней присутствовала пара высказываний, из которых одно является отрицанием другого.

Определение 3. Формула равносильная данной и представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций называется дизъюнктивной нормальной формой данной формулы.(ДНФ).

Определение 4. Формула равносильная данной и представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций называется конъюнктивной нормальной формой данной формулы.(КНФ).

Обобщим существование ДНФ или КНФ для каждой формулы:

1. Все логические операции можно заменить тремя: конъюнкцией, дизъюнкцией и отрицанием.

2. Знак отрицания с помощью законов де Моргана можно отнести к пропозициональным переменным.

3. С помощью дистрибутивных законов формула преобразовывается в конъюнкцию элементарных дизъюнкций или дизъюнкцию элементарных конъюнкций.

Для каждой формулы может быть составлено несколько ДНФ и КНФ. Но все ДНФ (или КНФ) данной формулы равносильны между собой.

Определение 5. Совершенной дизъюнктивной нормальной формой формулы А(x1,x2,…,xn) называется ДНФ, обладающая следующими свойствами:

а) в ней нет одинаковых дизъюнктивных элементов;

б) ни одна элементарная конъюнкция не содержит двух одинаковых высказываний;

в) ни какая элементарная конъюнкция не содержит высказывание вместе с ее отрицанием;

г) в каждой элементарной конъюнкции содержится либо Xi, либо , где i=.

Условие а) – г) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы ДНФ стала СДНФ. В свою очередь эти условия дают возможность составить алгоритм получения СДНФ из ДНФ:

1) если какая-нибудь элементарная конъюнкция не содержит высказывание Xi, то заменим выражением ;

2) если в полученном выражении окажутся одинаковые элементарные конъюнкции, то лишние опускаются;

3) если в некоторых элементарных конъюнкциях окажутся одинаковые высказывания, то лишние опускаются;

4) удаляем элементарные конъюнкции, в которых содержатся высказывания вместе с их отрицанием.

Если все элементарные конъюнкции окажутся таковыми, т.е. вся формула будет ложной, то она не будет иметь СДНФ.

 Скачать реферат