Практические приложения алгебры высказываний

Находим СКНФ для искомой формулы. Получаем

F (X, Y, Z) .

2.3 Необходимые и достаточные условия

В следующих предложениях вместо многоточия поставьте слова «необходимо, но недостаточно» или «достаточно, но не необходимо», а где возможно «необходимо и достаточно» так, чтобы получилось истинное утверждение:

Задача 1. Пусть на отрезке [a, b] определена непрерывная функция f(x) имеющая на промежутке [a, b] конечные производные, тогда:

Для того, чтобы функция f(x) была постоянной на отрезке [a, b] необходимо и достаточно, чтобы =0 для .

Решение:

F(x)=const на [a, b] - истина

F(x)=const на [a, b] – истина

Задача 2. Для того, чтобы два вектора в пространстве были перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю

┴ - истина

┴ - истина

Задача 3. Для того, чтобы уравнение имело действительные корни, необходимо и достаточно, чтобы .

имело действительные корни

имело действительные корни

Задача 4. Для того, чтобы в точке x0 функция f(x) имела экстремум, необходимо, чтобы

Решение:

функция f(x) в точке x0 имеет экстремум - истина

функция f(x) в точке x0 имеет экстремум – ложь

контрпример: .

Задача 5.Для того, чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, но не достаточно, чтобы его диагонали были перпендикулярны.

Решение:

ABCD – квадрат - истина

ABCD – квадрат – ложь

B

контрпример: A C

D

Задача 6.Для того, чтобы уравнение cos x = a имело решение, необходимо, но не достаточно, чтобы .

Решение:

Cos x = a - имеет решение

Cos x = a - имеет решение – ложь

контрпример: a = 3.

Задача 7. Для того, чтобы в точке x0 функция f(x) имела разрыв второго рода, достаточно, чтобы = ∞.

Решение:

функция f(x) в точке x0 имеет разрыв второго рода – истина.

Задача 8. Для того, чтобы выражение x2 – 2x – 3 равнялось нулю, достаточно, но не необходимо, чтобы x = -1.

Решение:

x2 – 2x – 3 = 0 - ложь

контрпример: x = 3.

x2 – 2x – 3 = 0 – истина

2.4 Анализ и синтез релейно-контактных схем

Одно из применений алгебры высказываний – анализ и синтез релейно-контактных схем.

Еще в 1910 году физик П.С. Эренфест указал на возможность применения аппарата алгебры логики при исследовании релейно-контактных схем. Каждой схеме можно поставить в соответствие некоторую формулу алгебры высказываний, и каждая формула алгебры высказываний реализуется с помощью некоторой схемы.

Рассмотрим 2-х-полюсные переключатели, т.е. такие, которые имеют два состояния: «замкнуто» - 1, «разомкнуто» - 0. На схеме будем изображать:

Определение 7. Переключатель, который сблокирован с X так, что он замкнут, если X разомкнут, и разомкнут, если X замкнут, называется инверсным и обозначается .

Конъюнкция двух высказываний X и Y будет представлена двухполюсной схемой с последовательным соединением двух переключателей X и Y.

Эта схема пропускает ток тогда и только тогда, когда истины и X, и Y одновременно, то есть истина конъюнкция X&Y.

X&Y

Дизъюнкция двух высказываний X и Y изобразится двухполюсной схемой с параллельным соединением двух переключателей X и Y.

XY

Эта схема пропускает ток в случае, если истинно высказывание X или истинно высказывание Y, то есть истина дизъюнкция XY.

Таким образом, всякую булеву формулу можно трактовать как некоторую последовательно-параллельную схему от 2-х-полюсных переключателей. Все свойства булевых операций переносятся на соответствующие операции над переключателями. Формула, которую можно составить для каждой схемы называется функцией проводимости схемы, а таблица значений – условиями работы схемы.

Определение 8. Две схемы называются равносильными, если имеют одинаковые функции проводимости.

Анализ схемы заключается в следующем: для данной схемы составляется функция проводимости, которая на основании законов булевых функций упрощается и для нее строится новая, более простая схема, которая обладает теми же электрическими свойствами.

 Скачать реферат