Практические приложения алгебры высказываний

Определение 6. Совершенная конъюнктивная нормальная форма – это ее КНФ обладающая свойствами:

а) в ней нет двух одинаковых конъюнктивных элементов;

б) ни одна элементарная дизъюнкция не содержит двух одинаковых высказываний;

в) ни одна элементарная дизъюнкция не содержит какой-нибудь переменной с ее отрицанием;

г) каждая элементарная дизъюнкция содержит либо Xi, либо width=21 height=25 src="images/referats/3105/image056.png">, где i=.

В свою очередь эти условия дают возможность составить алгоритм получения СКНФ из КНФ:

1) если какая-нибудь элементарная дизъюнкция не содержит высказывание Xi, то заменим выражением ;

2) если в полученном выражении окажутся одинаковые элементарные дизъюнкции, то лишние опускаются;

3) если в некоторых элементарных дизъюнкциях окажутся одинаковые высказывания, то лишние опускаются;

4) удаляем элементарные дизъюнкции, в которых содержатся высказывания вместе с их отрицанием.

Для тождественно истинных формул СКНФ не существует.

Для любой формулы алгебры высказываний существует только одна СДНФ и только одна СКНФ, кроме противоречий и тавтологий, т.е. для противоречий будет существовать СКНФ, а для тавтологий – только СДНФ.

1.4 Логические следствия

Определение 1. Формула B называется логическим следствием формул A1, A2, …, An, если при любых значениях, входящих в них, элементарных высказываний формула B принимает значение истинно всякий раз, когда формулы A1, A2, …, An принимают значение истинно. Обозначается A1, A2, …, An ╞ B Стоматология пульпит лечение как лечат хронический и острый пульпит venstom.ru.

Из определения логического следования вытекает:

1. Тавтология логически следует из любой формулы.

2. Из противоречия логически следует любая формула.

Теорема 1. Из A логически следует B тогда и только тогда, когда тавтологией является AB.

Теорема 2. A1, A2,…, An╞ B тогда и только тогда, когда является тавтологией

A1&A2& …& An B.

Теорема 3. Из формул A1, A2,…, An , B логически следует C тогда и только тогда, когда из формул A1, A2, …, An логически следует BC.

Следствие 1. Из A и B логически следует C тогда и только тогда, когда тавтологией является

A (BC).

Следствие 2. Из формул A1, A2, …, An логически следует B тогда и только тогда, когда тавтологией является

A1 (A2 … (AnB)…).

Отношение логического следования играет в математике большую роль.

Если из A╞B, то A называется достаточным условием для B, а B – необходимым условием для A.

Если вместе с A╞B из B╞A, то A называется необходимым и достаточным условием для B, а B – необходимым и достаточным условием для A.

2. Решение задач с помощью алгебры высказываний

2.1 Исследование рассуждений

Отношение логического следования используется при исследовании рассуждений.

Задача 1. Если 6 – составное число (S), то 12 – составное число (W). Если 12 – составное число, то существует простое число, больше чем 12 (P). Если существует простое число больше 12, то существует составное число больше 12 (C). Если 6 делится на 2 (D), то 6 – составное число. Число 12 составное. Следовательно, 6 – составное число.

Посылки: , , , , W

Заключение: S

Решение:

Данное высказывание тавтологией не является, значит из указанных посылок не следует высказывание «6 – составное число».

Задача 2. Я пойду в кино на новую комедию (A) или на занятия по математической логике (B). Если я пойду в кино, то я от всей души посмеюсь (C). Если я пойду на занятия по математической логике, то испытаю удовольствие от логических рассуждений (D). Следовательно, или я от всей души посмеюсь или испытаю удовольствие от логических рассуждений.

Посылки: , ,

Заключение:

Решение:

Значит из данных посылок следует .

Задача 3. Я пойду домой (H) или останусь здесь и выпью стаканчик (S). Я не пойду домой. Следовательно, я останусь и выпью.

Посылки: ,

Заключение: S

Решение:

Значит, высказывание «я останусь и выпью» является логическим следствием из данных посылок.

Задача 4. Если Джон ляжет сегодня поздно (S), он будет утром в отупении (D). Если он ляжет не поздно, то ему будет казаться, что не стоит жить (L). Следовательно, или Джон будет завтра в отупении, или ему будет казаться, что не стоит жить.

Посылки: ,

Заключение:

Решение:

Значит из данных посылок следует .

Задача 5. Или Сэлли и Боб одного возраста (S), или Сэлли старше Боба (O). Если Сэлли и Боб одного возраста, то Нэнси и Боб не одного возраста (N). Если Сэлли старше Боба, то Боб старше Уолтера (W). Следовательно, или Нэнси и Боб не одного возраста, или Боб старше Уолтера.

Решение:

Посылки: , ,

 Скачать реферат