Практические приложения алгебры высказываний

Например, высказывание «В треугольнике DFE угол D или угол Е острый» истинно, так как обязательно истинно хотя бы одно из высказываний: «В треугольнике DFE угол D острый», «В треугольнике DFE угол Е острый».

Импликацией двух высказываний X,Y называется высказывание, которое считается ложным, если X истинно, а Y - ложно, и истинным во всех остальных случаях.

Импликация высказываний X, Y обозначается символом X Y, читается «если X, то Y» или «из X следует Y». Высказывание X называют посылкой, высказывание Y – заключением.

Логические значения операции импликации описываются следующей таблицей истинности:

Например, высказывание «Если число 12 делится на 6, то оно делится на З», очевидно, истинно, так как здесь истинна посылка «Число 12 делится на 6» и истинно заключение «Число 12 делится на 3».

Употребление слов «если ., то .» в алгебре логики отличается от употребления их в обыденной речи, где мы, как правило, считаем, что, если высказывание X ложно, то высказывание «Если X, то Y» вообще не имеет смысла. Кроме того, строя предложение вида «еслиX, то Y» в обыденной речи, мы всегда подразумеваем, что предложение Y вытекает из предложения X. Употребление слов «если ., то .» в математической логике не требует этого, поскольку в ней смысл высказываний не рассматривается.

Эквиваленцией (или эквивалентностью) двух высказыванийX, Y называется высказывание, которое считается истинным, когда оба высказыванияX, Y либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях.

Эквиваленция высказываний X, Y обозначается символом X Y, читается «для того, чтобыX, необходимо и достаточно, чтобы Y» или «X тогда и только тогда, когда Y». Высказывания X, Y называются членами эквиваленции.

Логические значения операции эквиваленции описываются следующей таблицей истинности:

Например, эквиваленция «Треугольник SPQ с вершиной S и основанием PQ равнобедренный тогда и только тогда, когда P= Q » является истинной, так как высказывания «Треугольник SPQ с вершиной S и основанием PQ равнобедренный» и «В треугольнике SPQ с вершиной S и основанием PQ P= =Q» либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

Эквивалентность играет важную роль в математических доказательствах. Известно, что значительное число теорем формулируется в форме необходимых и достаточных условий, то есть в форме эквивалентности. В этом случае, зная об истинности или ложности одного из двух членов эквивалентности и доказав истинность самой эквивалентности, мы заключаем об истинности или ложности второго члена эквивалентности.

Однако существуют операции, с помощью которых может быть выражена любая из пяти логических операций, которыми мы пользуемся. Такой операцией является, например, операция «Штрих Шеффера». Эта операция обозначается символом и определяется следующей таблицей истинности:

Штрих Шеффера - функция, принимающая значение ложь, если X – истинно и Y – истинно.

Очевидно, имеют место равносильности:

1)

2)

Из этих двух равносильностей следует, что всякая формула алгебры логики может быть заменена равносильной формулой, содержащей только операцию «Штрих Шеффера».

Отметим, что .

Стрелка Пирса (функция Вебба) XY – функция, принимающая значение истина, когда X – ложно и Y – ложно.

 Скачать реферат