Постановка и основные свойства транспортной задачи

Т.е. все элементы первого столбца , которым соответствуют ненулевые элементы в матрицы С0, заполняют нулями, а остальные элементы этого столбца заполняют по методу северо-западного угла.

Допустим, что столбцы Х0 от первого до (j-1) – го включительно уже заполнены. Тогда элементы j-го столбца определяют в соответст

вии с формулой

(3.3.5)

Если , то Х0 – оптимальный план Т-задачи. Если , то переходим к первой итерации.

(k+1) – я итерация. Каждая итерация состоит из двух или трех этапов. Итерация начинается первым этапом, а заканчивается вторым. Между первым и вторым этапами в общем случае несколько раз могут быть проведены третий и первый этапы.

Допустим, что уже проведено k итераций, причем . В этом случае необходимо, используя матрицы Сk и Хk, провести следующую (k+1) – ю итерацию. Перед началом итерации выделяют знаком '+' те столбцы матрицы Сk, для которых невязки по столбцам равны

.

Первый этап. Если все ненулевые элементы матрицы Сk окажутся в выделенных столбцах, то переходят к третьему этапу. В противном случае пусть некоторый невыделенный нуль находится в -й строке и в -м столбце. Тогда вычисляют значения невязки -й строки:

.

Возможен один из двух случаев: 1), 2). В первом случае -ю строку Сk отмечают знаком '+' справа от нее, а сам невыделенный нуль отмечают штрихом. Далее просматривают элементы -й строки, которые лежат в выделенных столбцах и ищут среди них существенные нули (напомним, что существенным нулем Сk называется такой элемент , для которого ). Если таким существенным нулем оказался элемент , а сам столбец  – выделен, то знак выделения '+' над столбцом  уничтожают, а сам этот нуль отмечают звездочкой.

Затем просматривают -й столбец и отыскивают в нем нуль (нули), расположенные в отличных от -й строках. Если такой нуль имеется, то отмечают его штрихом и анализируют невязку его строки.

Далее процесс поиска нулей и выделение их (штрихами или звездочками) продолжается аналогично, и за несколько шагов он заканчивается одним из следующих исходов:

1) найдем очередной невыделенный нуль матрицы Сk, для которого невязкая в строке . Тогда отметив его штрихом, переходим ко второму этапу;

2) все нули матрицы Сk оказались выделенными, причем для каждого из нулей, выделяемых штрихом, невязка . Тогда переходим к третьему этапу.

Во втором случае, отметив этот нуль штрихом, сразу переходим к третьему этапу.

Второй этап. Состоит в построении цепочки из нулей матрицы Сk, отмеченных штрихами и звездочками, и в последующем переходе к новой матрице Хk+1

Пусть для некоторого нуля со штрихом матрицы Сk, расположенного, например, в позиции (), невязка строки . Начиная с этого элемента , строят цепочку из отмеченных нулей матрицы Сk: двигаясь по столбцу , выбирают нуль со звездочкой , далее двигаясь от него по строке , находят нуль со штрихом . Потом движутся от него по столбцу 2 к следующему нулю со звездочкой и т.д. Такой последовательный переход от 0' к 0* по столбцу и от 0* к 0' по строке осуществляют до тех пор, пока это возможно.

Можно доказать, что процесс построения цепочки однозначный и законченный, цепочка не имеет циклов, начинается и заканчивается нулем со штрихом.

После того как цепочка вида

построена, осуществляют переход к матрице от матрицы Хk по формулам

(1.3.7)

где (1.3.8)

Таким образом, -минимальный элемент среди совокупности четных элементов цепочки, невязки строки, где начинается цепочка, и столбца, где она заканчивается.

Вычисляем невязку для

На этом (k+1) – я итерация заканчивается.

Третий этап. Итак, допустим, что все нули выделены. Третий этап заключается в переходе от матрицы Сk к эквивалентной матрице С′k, в которой появляется новый невыделенный нуль (или нули). Пусть , где минимум выбирают из всех невыделенных элементов матрицы Сk. Тогда из всех элементов невыделенных строк матрицы Сk вычитают h, а ко всем элементам выделенных столбцов прибавляют h. В результате получают матрицу С'k(С'k ~ Ck), в которой все существенные нули матрицы Сk остаются нулями, и кроме того, появляются новые невыделенные нули.

Далее переходят к первому этапу, и в зависимости от его результата либо переходят ко второму этапу, либо снова возвращаются к третьему этапу. За конечное число повторов пары этапов третий – первый обязательно перейдем ко второму этапу.

Если после выполнения второго этапа то Хk+1 – оптимальный план. В противном случае переходим к (k+2) итерации.

Отметим некоторые важные особенности венгерского метода.

Поскольку данный метод в отличие от метода потенциалов не использует опорных планов, то явление вырожденности плана для него отсутствует. Это устраняет возможность зацикливания, связанного с вырожденностью планов Т-задачи, которая облегчает программирование метода и его реализацию на ЭВМ.

 Скачать реферат