Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп

Предположим теперь, что . Покажем, что . Не теряя общности, можно положить, что . Тогда , . Пусть , где и , где . Для всякого через обозначим подгруппу . Предположим, что все отличны от . Так как , то – дополнение к в . Если для всех различных и , то

и поэтому . Противоречие. Значит для некоторых различных и . Из последнего вытекает

что невозможно. Полученное противоречие показывает, что для некоторого и, следовательно, . Лемма доказана.

Лемма [4]. Пусть – наследственная локальная формация, – такая нормальная подгруппа группы , что . Тогда равносильно .

Доказательство. Пусть . Тогда , и если – произвольная максимальная подгруппа , то , а значит, и принадлежит . Следовательно, .

Предположим теперь, что . Понятно, что .Пусть – произвольная максимальная подгруппа , тогда . Пусть – произвольный -главный фактор из . Обозначим . Пусть – максимальный внутренний локальный экран формации , и пусть . Так как , то . Покажем, что . По лемме 8.7 из [6] формация наследственна. Следовательно, если , то сразу получим . Если же , то вытекает из изоморфизма . Итак, всякий -главный фактор из , -централен в . Значит, . Таким образом, . Лемма доказана.

Лемма [3]. Пусть – локальная наследственная формация, – некоторый ее полный экран. Группа принадлежит тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

1) ;

2) , где – главный -фактор группы , – минимальная не -группа.

Доказательство. Необходимость вытекает из леммы 2.1.

Достаточность. Пусть и – произвольные максимальные подгруппы . Покажем, что . Если -абнормальна, то ввиду леммы 2.1 имеем . Значит, . Пусть . По условию

 Скачать реферат