Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп

получаем, что . Итак, , и .

Используя тождество Дедекинда, имеем

Если предположить, что , то . В этом случае

Так как , то не может быть -субнормальной подгруппой в . Следовательно, можно считать, что , .

Так как подгруппа -субнормальна в группе и , то из наследственности формации следует, что подгруппа -субнормальна в .

Так как формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, то – -субнормальная подгруппа группы . Кроме того, из и наследственности формации имеем . Обозначим , , и рассмотрим подгруппу . Если , то , что невозможно ввиду -субнормальности в подгруппы .

Пусть . Из , нормальности в и нормальности в следует, что нормальна в .

Так как

то

Таким образом получаем

Так как , то – подгруппа из . Тогда из -субнормальности в подгрупп и следует, что подгруппа

-субнормальна в . Это невозможно ввиду равенства . Значит, . Противоречие.

Докажем, что из 2) следует 3). Пусть , где – нормальная -подгруппа группы , . Так как

и , то . Из наследственности формации получаем, что подгруппа -субнормальна в . Ввиду леммы 2.6 подгруппа теперь -субнормальна в , . Так как выполняется условие 2) леммы, то

Следовательно, – формация Фиттинга.

Пусть – -субнормальная -подгруппа группы . Ввиду леммы 2.5 подгруппа -субнормальна в для всех . Так как выполняются условия 2) леммы, то

 Скачать реферат