Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп

то нетрудно видеть, что группа имеeт -холловскую подгруппу .

Так как , то >– -субнормальная подгруппа группы . Так как , и , – -субнормальные подгруппы, то по индукции имеем, что

Отсюда и из ввиду получаем . Аналогично доказывается, что . Таким образом,

Отсюда и из -субнормальности и в нетрудно заметить, что , – -субнормальные подгруппы группы . Из и ввиду наследственности следует, что и . Так как по условию формация обладает решеточным свойством для - субнормальных подгрупп, то ввиду леммы 3.1

Итак, содержит некоторую группу , где , – -субнормальные -подгруппы группы . Следовательно, ввиду леммы 3.1 формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Лемма доказана.

Лемма [1]. Пусть – нормально наследственная разрешимая формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если в каждой разрешимой группе все -субнормальные подгруппы образуют решетку, то имеет вид

где для любых из ;

2) если – формация из пункта 1), то она обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

1) Покажем, что является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка. Очевидно, что и .

Пусть – максимальный внутренний локальный экран формации . Согласно лемме 2.3

где – единственная минимальная нормальная подгруппа группы , (– простое число), а – максимальная подгруппа группы , являющейся минимальной не -группой.

Докажем, что – циклическая -группа для некоторого простого числа . Допустим противное. Тогда в найдутся по крайней мере две несопряженные максимальные подгруппы и . Рассмотрим в подгруппу , . Ясно, что -субнормальна в , . Из , и по лемме 3.1 получаем, что . Получили противоречие с выбором .

 Скачать реферат