Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп
Итак, и
– полный локальный экран формации
.
Покажем, что либо
для любых
простых ,
.
Вначале докажем, что из следует
. Допустим противное. Пусть
. Рассмотрим точный неприводимый
-модуль
над полем
, который существует по лемме 18.8 из [6].
Возьмем группу . Так как
и
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу, то ввиду леммы 18.8 из [6] существует точный неприводимый
-модуль
над полем
. Рассмотрим группу
Так как
то . Ясно, что
. Так как
, то найдется
такой, что
. Заметим, что
. Тогда
Так как , то
-субнормальна в
и
-субнормальна в
. По лемме 3.1
. Получили противоречие. Таким образом, если
, то
.
Пусть теперь . Тогда
. Предположим, что найдется такое простое число
, которое не принадлежит
. Рассмотрим точный неприводимый
-модуль
над полем
.
Группа принадлежит
ввиду
и
. Теперь рассмотрим точный неприводимый
-модуль
. Группа
формации
не принадлежит, так как
. Ясно, что
. Рассуждая как и выше, можно показать, что
для некоторого
, причем подгруппы
,
-субнормальны в
, причем
,
принадлежат
. Отсюда по лемме 3.1
. Получили противоречие.
Следовательно, если , то
, а значит
. Более того, если
где и
, то
и
, а значит,
.
Таким образом, множество можно разбить в объединение непересекающихся подмножеств, т.е. представить в виде
, где
для любых
из
и
для
. Покажем, что
Обозначим
Так как для любого имеет место
, то включение
очевидно.
Допустим, что множество непусто, и выберем в нем группу
наименьшего порядка. Так как
– наследственная формация, то
. Группа
непримарна в силу равенства
и локальности формации
. Из строения
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах