Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп

Итак, и – полный локальный экран формации .

Покажем, что либо для любых

простых , .

Вначале докажем, что из следует . Допустим противное. Пусть . Рассмотрим точный неприводимый -модуль над полем , который существует по лемме 18.8 из [6].

Возьмем группу . Так как и имеет единственную минимальную нормальную подгруппу, то ввиду леммы 18.8 из [6] существует точный неприводимый -модуль над полем . Рассмотрим группу

Так как

то . Ясно, что . Так как , то найдется такой, что . Заметим, что . Тогда

Так как , то -субнормальна в и -субнормальна в . По лемме 3.1 . Получили противоречие. Таким образом, если , то .

Пусть теперь . Тогда . Предположим, что найдется такое простое число , которое не принадлежит . Рассмотрим точный неприводимый -модуль над полем .

Группа принадлежит ввиду и . Теперь рассмотрим точный неприводимый -модуль . Группа формации не принадлежит, так как . Ясно, что . Рассуждая как и выше, можно показать, что для некоторого , причем подгруппы , -субнормальны в , причем , принадлежат . Отсюда по лемме 3.1 . Получили противоречие.

Следовательно, если , то , а значит . Более того, если

где и , то и , а значит, .

Таким образом, множество можно разбить в объединение непересекающихся подмножеств, т.е. представить в виде , где для любых из и для . Покажем, что

Обозначим

Так как для любого имеет место , то включение очевидно.

Допустим, что множество непусто, и выберем в нем группу наименьшего порядка. Так как – наследственная формация, то . Группа непримарна в силу равенства и локальности формации . Из строения

 Скачать реферат