Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп

Следовательно, и по лемме 2.1 – -группа. Значит по лемме 8.2 из [6] .

Итак, . Применяя теперь лемму 2.1 получаем, что . Лемма доказана.

Лемма [3]. Пусть – локальная формация, имеющая постоянный наследственный локальный экран . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) для любого из ;

2) тогда и только тогда, когда для любого из , – главный фактор , .

Доказательство. 1) Пусть – произвольная группа из . Покажем, что . Предположим противное. Пусть – подгруппа наименьшего порядка из , не принадлежащая . Очевидно, что . Так как – постоянный экран, то ввиду леммы 4.5 из [5] для любого из . Если , то из того, что следует . Получили противоречие. Итак, – собственная подгруппа из . Но тогда , что невозможно.

2) Пусть . Покажем, что . Так как

то, не ограничивая общности, можно считать, что . Пусть – произвольная -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда по лемме 2.1 , где . Очевидно, что . Отсюда следует, что – -группа. Так как и – постоянный экран, то . Пусть – произвольная собственная подгруппа из . Так как формация наследственна, то . Кроме того, . Отсюда . Следовательно,

Если теперь , то . Отсюда нетрудно заметить, что . Противоречие. Итак, . Из леммы 2.1 следует, что

есть главный -фактор группы .

Пусть теперь . Очевидно, что . Пусть – собственная подгруппа из .Рассмотрим подгруппу . Если , то тогда

Согласно пункту 1 . Пусть . Тогда – собственная подгруппа группы . Тогда

Отсюда . А это значит, что . Итак, . Так как , то по лемме 2.1 . Лемма доказана.

Лемма. Пусть – непустая наследственная формация. Тогда:

 Скачать реферат