Геометрия Лобачевского

Из равенства (3) следует, что точки абсолюта ω при отображении f переходят в точки абсолюта, а точки множества — в точки того же множества . Далее, из равенств (4) мы заключаем, что каждая точка (х', у') множества Ω имеет единственный прообр

аз (х, у), поэтому отображение (3) является биекцией множества Ω.

Отметим, что преобразование f, как показывают формулы (2) и (4), является инволютивным, т. е. f -1 = f.

Докажем, что для преобразования f выполняются также условия б). Если точки M1, M2,, M3 лежат на прямой Ах + By + С = 0, то, используя формулы (4), мы убеждаемся в том, что их образы M’1, M’2,, M’3 также лежат на некоторой прямой. Таким образом, если UV — некоторая хорда окружности ω, а U = f(U), V = f(V), то все точки хорды UV переходят в точки хорды U'V’. Но так как f -1 = f, то все точки хорды U'V’ переходят в точки хорды UV. Таким образом, хорда UV переходит в хорду U'V’.

Остается доказать, что преобразование (2) сохраняет сложное отношение четырех точек. Пусть M1(x1, у1), М2 (х2, y2), М3 (х3, у3), M4 (х4, у4)— четыре точки, лежащие на одной прямой, пересекающей ось Оу, а М'i(хi, уi), i= 1, 2, 3, 4,— их образы. Используя первую из формул (4), находим:

где i , j = 1, 2, 3, 4, i ≠ j.

Отсюда, применяя формулу (1), получаем (М1М2, М3М4) = (М’1M’2, М'3M’4). Если точки Мi лежат на прямой, параллельной оси Оу. или на оси Оу, то используя вторую из формул (4), приходим к тому же выводу. Итак, доказано, что формулами (2) задано инволютивное -преобразование.

Рассмотрим некоторые свойства -преобразований. Из определения -преобразования непосредственно следует утверждение.

1°. Если f и g — -преобразования, то fg и f -1 являются -преобразованиями.

2°. Любое -преобразование сохраняет отношение «лежать между» точек круга Ω.

□ Пусгь А, В, С и А — В — С, а А', В', С' — образы этих точек. Обозначим через UV хорду, на которой лежат данные точки, а через U'V' образ этой хорды. Если точки А и С являются концами хорды UV (т. е. сов- падают с тачками U и V), то А' и С' являются концами хорды U'V'. В этом случае утверждение 2° очевидно. Предположим, что тачка U не совпадает ни с одной из точек А и С. Тогда (АС, ВU) = (А'С', B'U') или . Так как (АС, V) < 0, (А'С', V') < 0 и по условию (АС, В) > 0, то из последнего равенства следует, что (А'С', В') > 0. Это означает, что А' — В' — С.

Отсюда мы заключаем, что при -преобразовании отрезок, принадлежащий кругу Ω, переходит в отрезок; в частности, полухорда круга Ω переходит в полухорду того же круга. Далее, любой сегмент круга Ω переходит в сегмент того же круга.

Пусть UV - хорда круга Ω. AU — полухорда этой хорды, а — одни из сегментов, ограниченный хордой UV. Пару AU, назовем -флагом и обозначим через (AU, ). На рисунке 1 изображены два -флага (A1U1, ) и (A2U2 , ). Из предыдущего ясно, что -преобразование любой -флаг переводит в -флаг.

3. Какова бы ни была внутренняя точка А круга Ω. существует инволютивное -преобразование, которое переводит точку А в центр О круга Ω, а точку О в точку А.

□ В самом деле, пусть ОА = а. Выберем прямоугольную систему координат Оху так, чтобы точка А в этой системе имела координаты А(а, 0). Тогда -преобразование, заданное формулами (2), переводит точку А в точку О, а точку О в точку А.

4. Каковы бы ни были флаги I1 = (A1U1, ) и I2 = (A2U2, ), существует -преобразование, которое I1 переводит в I2 (рис. 1).

□ По свойству 3° существуют инволютивные -преобразования f1 и f2, такие, что О = f1(A1) и О = f2(А2), где О - центр круга Ω. Пусть I1' = f1(I1) и I2' = f2(I2). Рассмотрим -преобразование f0, такое, что I2' = f0(I1') (f0 является вращением вокруг точки О или вращением вокруг точки О с последующим отражением от диаметра круга Ω). Тогда f = f2f0f1 является искомым -преобразованием, так как f(I1) = f2f0f1(I1) = f2f0(I1 ') = f2(I2 ') = I2.

Отсюда получаем утверждение.

5°. Каковы бы ни были полухорды A1U1 и A2U2, существует -преобразование, которое полухорду A1U1 переводит в полухорду A2U2.

6°. Если -преобразование какой-нибудь -флаг переводит в себя, то оно является тождественным преобразованием круга Ω.

В этом пункте для простоты изложения неевклидовы отрезки, лучи, углы, полуплоскости будем называть просто отрезками, лучами, углами, полуплоскостями. Введем следующие соглашения. Будем считать, что отрезок АВ ранен отрезку А'В', если существует такое -преобразование, которое отрезок АВ переводит в отрезок А'В'. Аналогично угол hk считается равным углу h'k', если существует -преобразование f, которое угол hk переводит в угол h'k' (т. е. h' = f(h) и k' = f(k) или k' = f(h) и h' = f(k)).

 Скачать реферат