Геометрия Лобачевского

IV1 и IV2. Группа IV аксиом Гильберта эквивалентна предложению Дедекинда. Ясно, что предложение Дедекинда выполняется на построенной нами модели, поэтому выполняются аксиомы IV1 и IV2 Гильберта.

V*. Возьмем произвольную прямую UV и точку А, не лежащую на ней. Рассмотрим прямые UU1 и VV1, проходящие ч

ерез точку А (рис. 3). Эти прямые не пересекаются с прямой UV, так как евклидовы точки U и V не являются неевклидовыми точками прямой UV. Таким образом, имеет место аксиома V* Лобачевского.

Таким образом, построив евклидову модель Кэли — Клейна, мы тем самым доказали, что система аксиом I1-3, II1-4, III1-5, IV1-2, V* непротиворечива, если непротиворечива система аксиом ∑Н Гильберта.

Вывод: V постулат Евклида не зависит от остальных аксиом евклидовой планиметрии.

Литература

Основная

1. Александров А.Д. Основания геометрии: Учебное пособие для вузов. М ; Наука, 1987 г.

2. Атанасян Л С, Базылев В.Г. Геометрия, ч П. М.; 1989 г.

3. Базылев В.Т., Дуничев К.И Геометрия, ч П. М.; 1975 г.

4. Сборник задач по геометрии под редакцией В.Т. Базылева, М.; 1980 г.

5. Сборник задач по геометрии под редакцией Л.С. Атанасяна, ч П. М.; 1978г.

Дополнительная

1. Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Гостехиздат, 1948 г.

2. Каган В.Ф. Основания геометрии, ч I.M.; Л.; Гостехиздат, 1949 г

3. Костин В.И. Основания геометрии. М.; Л.; Учпедиздат, 1946 г.

4. Погорелов А.В. Основания геометрии. М.; Наука, 1968 г.

 Скачать реферат