Геометрия Лобачевского

Расстояние между точками X, Y , определяется следующим образом. Зададим положительное число r (одно и то же для данного пространства ). Если точки X, Y порождаются векторами border=0 width=14 height=29 src="images/referats/7524/image039.png">, Ω*, то назовем расстоянием между этими точками неотрицательное число δ(X, Y), удовлетворяющее равенству

(4)

где ch t = - гиперболический косинус вещественной переменной t. Мы замечаем, что функция cht четная, определена на всей числовой оси и ее значения заполняют промежуток [1, + ∞]. Поэтому согласно формуле (3) расстояние между любыми двумя точками всегда существует и является положительным числом.

Число r > 0 называется радиусом кривизны пространства .

Правая часть формулы (4) показывает, что расстояние δ(X, Y) не зависит от выбора векторов, порождающих точки X и Y.

Всякий автоморфизм φ псевдоевклидова векторного пространства индуцирует некоторое преобразование f пространства по закону:

если

φ () = , то f(X) = X’.

Из формулы (4) следует, что преобразование f сохраняет расстояние между любыми двумя точками пространства . Такое преобразование f называется движением пространства .

Из определения пространства можно заключить, что гиперболические пространства Лобачевского и ' одной и той же размерности изоморфны. Следовательно, система аксиом категорична, теория T () однозначна и ее можно изучать, пользуясь любой интерпретацией.

Докажем, что система аксиом непротиворечива, если непротиворечива арифметика вещественных чисел. Для этого построим интерпретацию этой системы, используя множество R вещественных чисел. Для простоты изложения ограничимся случаем, когда п = 2, т. е. когда Е — плоскость Лобачевского.

Вектором псевдоевклидова векторного пространства V индекса 1 размерности 3 назовем любой столбец вида , где а1, a2, a3 — произвольные вещественные числа. Сумма векторов и умножение вектора на число вводятся обычным образом, т. е. как сумма столбцов и умножение столбца на число.

Скалярным произведением векторов и назовем число a1b1 + а2b2 - а3b3. Мы получили модель псевдоевклидова векторного пространства индекса 1 размерности 3. Очевидно, множество Ω* всех векторов мнимой длины состоит из тех и только тех векторов , для которых .

Введем следующее обозначение. Множество всех троек чисел вида km1, km2, km3, где k — любое действительное число, отличное от нуля, а m1, т2, m3 - фиксированные числа, не равные одновременно нулю, обозначим через < m1, т2, m3>. ■

Точкой (т. е. элементом множества Е) назовем любое множество < m1, т2, m3> при условии, что . Отображение π : Ω*→E определим так: вектору поставим в соответствие точку < m1, т2, m3> , такую, что (а1, а2, а3) < m1, т2, m3 >

В построенной интерпретации, очевидно, выполняются обе аксиомы системы .

Рассмотренное выше утверждение позволяет дать еще один способ доказательства независимости аксиомы параллельных от остальных аксиом евклидовой геометрии .

Система аксиом Гильберта евклидовой геометрии состоит из аксиом I, II, III, IV, V групп, где V — аксиома параллельных, эквивалентная (при сохранении аксиом I — IV) V постулату Евклида. Выше было доказано, что система аксиом непротиворечива, если непротиворечива арифметика вещественных чисел. В последующем мы ограничимся геометрией на плоскости, поэтому все системы аксиом будем рассматривать лишь для плоскости.

Рассмотрим систему аксиом ∑* = (\V) U V*. где V* — аксиома Лобачевского. Обозначим через систему аксиом 1—2 плоскости Лобачевского . Выше мы доказали, что эта система непротиворечива. При этом система аксиом категорична (все ее интерпретации изоморфны). Можно доказать (с помощью достаточно длинных рассуждений), что системы аксиом ∑* и эквивалентны.

Следовательно, для системы ∑* нашлась интерпретация — это та же интерпретация, что и интерпретация системы . Поэтому система аксиом ∑* (содержательно) непротиворечива. Но в таком случае из самого способа составления этой системы аксиом следует, что аксиома параллельных V не зависит от остальных аксиом (\ V) евклидовой геометрии.

Замечание. Так как аксиома параллельных V эквивалентна V постулату Евклида, то полученный результат можно еще сформулировать так: V постулат Евклида не зависит от остальных аксиом системы .

 Скачать реферат