Геометрия Лобачевского

Пусть меньше полуокружности, и, значит, d(A,B) — длина этой дуги. Обозначим через а величину центрального угла АОВ, опирающегося на дугу АМВ, и через r(А,В) – длину отрезка АВ. Как известно,

d(A,B) = ar. (1)

Из треугольника

АОВ (рис. 3-9) находим:

(2)

Из формул (1), (2) следует:

(3)

3. Движением сферы называется всякое изометрическое отображение этой сферы на себя, т. е. такое отображение f : S®S, которое удовлетворяет условию: каковы бы ни были точки А и В сферы, d(A,B) = d(f(A), f(B)). Из формулы (3) следует, что в этом случае r(А,В)=r(f(А), f(В)). Следовательно, любое движение f сферы S порождается некоторым движением f0 пространства, причем f0(О)=О. Обратно: любое движение g0 пространства, оставляющее точку О инвариантной, порождает определенное движение сферы S.

Отсюда заключаем, что множество всех движений сферы S является группой, которая изоморфна стационарной подгруппе Н0 точки О в группе движений пространства.

Две фигуры F, F'Ì S называются конгруэнтными или равными, если существует такое движение сферы S, которое переводит одну из этих фигур в другую. Следовательно, фигуры F, F' Ì S конгруэнтны, если они Н0 – эквивалентны.

4. Возьмем на сфере S три точки А,В,С, не лежащие на одной большой окружности. Они определяют три полусферы, каждая из которых содержит точки А,В,С, причем две из этих точек принадлежат краю полусферы. Пересечение этих трех полусфер называется сферическим треугольником с вершинами А,В,С. Дуги АВ, ВС, АС больших окружностей (меньшие полуокружности) называются сторонами сферического треугольника ABC.

Пусть ABC — сферический треугольник, а = d(B,C), b = d(A,C), с = d(A,B) — длины его сторон, a, b, g соответственно углы ВОС, АОС и АОВ.

Докажем теорему синусов для сферического треугольника.

Теорема. Пусть а=d{B,C), b=d{A,C), с=d{A,B) — стороны сферического треугольника ABC, a r — радиус сферы. Тогда

(4)

доказательство

Можно доказать, что справедливо следующее равенство, которое выражает теорему косинусов для сферического треугольника ABC:

(7).

Можно так же доказать, что площадь сферического треугольника ABC вычисляется по формуле

, (8)

где — так называемый избыток сферического треугольника. Так как площадь SABC>0, то из формулы (8) следует,что e> 0, т. е. . Итак, сумма углов любого сферического треугольника больше p. Это — существенное отличие геометрии на сфере как от геометрии на плоскости Евклида, так и от геометрии на плоскости Лобачевского

Модель Пуанкаре

Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского. (Французский ученый Анри Пуанкаре (1854—1912) — крупнейший математик. Описываемая далее модель была предложена им в 1882г.) Роль плоскости Лобачевского играет открытая полуплоскость; роль прямых выполняют содержащиеся в ней полуокружности с центрами на ограничивающей ее прямой и лучи, перпендикулярные этой прямой. Роль наложений выполняют композиции инверсий относительно этих полуокружностей и отражений в лучах. Все аксиомы евклидовой геометрии здесь выполняются, кроме аксиомы параллельных (рис. 4-1, а), тем самым в этой модели выполняется геометрия Лобачевского.

Опишем эту модель более подробно и докажем сказанное. Берем на обычной евклидовой плоскости какую-нибудь прямую р и ограниченную ею открытую полуплоскость Р. Прямую р назовем граничной прямой. Полуплоскость Р будет играть роль плоскости Лобачевского; мы будем называть ее «плоскостью» в кавычках. Точками в модели будут точки этой «плоскости», т. е. полуплоскости Р. За «прямые» в модели принимаем, во-первых, содержащиеся в Р полуокружности, центры которых лежат на граничной прямой (рис. 4-1, а). «Отрезок» АВ в модели — это дуга такой полуокружности с концами A, В.

Подчеркнем, что конец «отрезка» не может быть концом полуокружности, представляющей прямую; ее концы исключены вместе с граничной прямой; «плоскость» — это открытая полуплоскость. Точка «прямой» служит общим началом двух «лучей» — двух дуг полуокружности (с исключенными концами). «Углом» назовем фигуру из двух «лучей» с общим началом, не содержащихся в одной «прямой» (рис. 4-1, а).

Помимо указанных «прямых» есть еще «прямые» — это полупрямые, перпендикулярные граничной прямой. Они являются пределами рассмотренных полуокружностей (рис. 4-1,б). Когда центр полуокружности удаляется по граничной прямой, а полуокружность проходит через данную точку, то она «распрямляется» и в пределе переходит в полупрямую. Поэтому мы дальше будем мыслить указанные полупрямые среди «прямых» модели в качестве полуокружностей, как «полуокружности бесконечного радиуса». Это позволит обойтись без скучных оговорок, касающихся этих полупрямых, причем, однако, следует помнить условность этого и быть готовым проверять утверждения для таких «полуокружностей». («Отрезок» на такой «прямой» — это обычный отрезок, а «лучи» — один обычный луч, другой — отрезок с исключенным концом на граничной прямой.)

Рассмотрим теперь в этой модели те аксиомы, в которые не входит понятие о равенстве отрезков и углов.

Аксиома параллельных для прямых относится к таким аксиомам. В данной модели она явно не выполняется: через точку А, не лежащую на «прямой» а, проходит бесконечно много «прямых», не имеющих с а общих точек (рис. 4-1,а).

Все прочие аксиомы, говорящие о связи точек и отрезков или точек и прямых, о взаимном расположении точек и прямых, здесь выполняются. Так, на рис. 4-2 указано построение отрезка с данными концами. Далее, возьмем полуокружность, представляющую «прямую» в модели. Проведем прямую l, касающуюся этой полуокружности и параллельную граничной прямой. Спроектируем полуокружность из ее центра на прямую l (рис.4-3). Получим взаимно однозначное, сохраняющее порядок точек, соответствие между точками прямой и полуокружности, т. е. «прямой» модели. Все свойства, выраженные в аксиомах, будут одни и те же. Они также очевидно выполнены на полупрямых, представляющих «прямые» модели. Аксиома деления плоскости также выполняется. «Прямая» — полуокружность — делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Это и будут «полуплоскости» в нашей модели. Из одной в другую нельзя перейти по какой-либо дуге, не пересекая разделяющую их «прямую» — полуокружность.

 Скачать реферат