Геометрия Лобачевского

Заметим, что если hk = h'k', то всегда найдется такое -преобразование f', что h' = f'(h), k' = f'(k). В самом деле, допустим, что равенство hk = h'k' означает существование такого -преобразования, что k' = f(h), h' = f(k). Рассмотрим инволютивное -преобразование f1, которое вершину угла hk переводит в центр О круга Ω. (свойство 3°). Пусть h1 = f1(h), k1 = f1(k). Если f2 - симметрия с осью, содержащей биссектрису угла h1k1, то k1 = f2(h1), h1 = f2(k1). Поэтому f' = ff1f2f1 является искомым -преобразованием.

Покажем, что все аксиомы группы III Гильберта выполнены.

Ш1. Пусть АВ — данный отрезок, отложенный на луче h, a h' —луч, исходящий из точки А'. Докажем, что существует точка B' h', такая, что А'В' = АВ.

Обозначим через AU и A'U' полухорды крута Ω, на которых лежат лучи h и h', а через UV и U'V' соответствующие хорды. Рассмотрим -преобразование f, которое полухорду AU переводит в полухорду A'U' (свойство 5°). Тогда h' = f(h). Если В' = f(B), то В' h', и по определению А'В' = АВ.

Замечание. В нашей модели на луче h' существует единственная точка В', удовлетворяющая условию АВ = А'В'. В самом деле, U' = f(U), V' = f(V), поэтому (UV, АВ) = (U'V', А'В'). Если допустить, что на луче h' существует другая точка В", такая, что АВ = А'В", то аналогично получаем (UV, АВ) = (U'V', А'В"). Поэтому (U'V', А'В') = (U'V', А'В"). По свойству 1° сложного отношения четырех точек точки В' и В" совпадают.

III2. Выполнение этой аксиомы непосредственно следует нз свойства 1° -преобразований.

III3. Пусть А — В — С, А' — В' — С', АВ = А'В' и ВС = В'С'. Докажем, что АС = А'С'. Рассмотрим полухорды BU1, BU2, B'U'1, B'U'2, на которых лежат соответственно точки А, С, А' и С' (рис. 2). По свойству 5° существует такое - преобразование f, которое полухорду BU1 переводит в полухорду B'U'1. При этом полухорда BU2 переходит в полухорду B'U'2. Пусть А1 = f(А), С1 = f(С).

Так как ВА = В'А' по условию и ВА = В'А1 по построению, то точки А' и А1 совпадают, т. е. А' = f(A) (см. замечание к аксиоме III1). Аналогично доказывается, что точки С и С1 совпадают, поэтому С' = f(C). Таким образом, -преобразование f отрезок АС переводит в отрезок А'С', т. е. АС = А'С'.

III4. Пусть даны угол hk и флаг (A', h', λ'). Докажем, что существует единственный луч k' λ' такой, что hk = h'k'. Для этого рассмотрим -флаги I = (AU, ) и I' = (A'U', '), которые выбраны так, что h AU, h' A'U', k , λ' '. По свойству 4° существует такое -преобразование f, что I' = f(I). Луч k' = f(k) является искомым, так как k'λ' , и по определению равенства углов hk = h'k'.

Предположим, что k" — луч, удовлетворяющий условиям: hk = =h'k'' и k" I'. Тогда, очевидно, h'k' = h'k", поэтому существует такое -преобразование f, что h' = f(h'). k" = f(k'). Отсюда мы заключаем, что преобразование f -флаг I' переводит в себя. По свойству 6° f — тождественное преобразование круга Ω, следовательно, лучи h' и k" совпадают.

Ш5. Пусть в треугольниках ABC и А'В'С имеем АВ = А'В', АС = А'С' и ВАС = В'А'С'. Докажем, что ABC = А'В'С'.

Так как ВАС = В'А'С', то существует такое -преобразование f, которое переводит луч АВ в луч А'В', а луч АС в луч А'С'. Пусть В1 = f(B) и С1 = f(C). Так как A' = f'(А), то АВ = А'В1. Но по условию АВ = А'В'. поэтому точки В1 и В' совпадают, т. е. В' = f(B) (см. замечание к аксиоме III1). Аналогично доказывается, что С' = f(С). Таким образом, -преобразование f точки А, В, С переводит соответственно в точки А', В', С', поэтому ABC = =А'В'С.

 Скачать реферат