Геометрия Лобачевского

Уравнение (2) принимает вид:

, (3)

где берется знак «плюс» в случае ×< 0 и знак «минус» в случае ×>0.

Рассмотрим случай ×>0. Учитывая, что , из уравнения (3) находим:

и .

Следовательно, если U и V — точки пересечения прямой XY с линией Q, то векторы и , порождающие эти точки, имеют вид:

.

Отсюда находим (XY, UV) = е2t, поэтому . Правая часть этого равенства меняет знак при перемене мест точек U и V. Но так как t> 0, то надо считать, что

.

Таким образом,

(4)

Так как (ХV, UV) = (XY, VU)-1, то расстояние между точками X, Y, вычисленное по этой формуле, не зависит от порядка, в котором берутся точки U и V в формуле (4). Таким образом, формулу (4) можно записать также следующим образом:

(4’)

В случае < 0 мы получаем те же формулы (4) или (4').

4. Трехвершинник A1A2A3 называется автополярным трехвершинником второго рода для овальной линии второго порядка Q, если точки A1, A2 лежат на этой линии, а прямые A1A3 и А2Аз являются касательными к ней в точках А1 и А2 соответственно. Следовательно, каждая из сторон такого трехвершинника является полярой одной из его вершин, а именно: А1А3 — поляра точки А1, А2А3 — поляра точки А2 и А1А2 — поляра точки А3 (отсюда и термин «автополярный») .

Пусть A1A2A3 — автополярный трехвершинник второго рода для овальной линии Q. Выберем проективный репер R — (A1,A2,A3, E), где EÎQ . Тогда нетрудно заметить, что в таком репере кривая Q определяется уравнением

.

Рассмотрим стационарную подгруппу HQ абсолюта Q в проективной группе плоскости Р2. Если f Î HQ, то f индуцирует некоторое преобразование fΛ на плоскости Λ2, так как в преобразовании f внутренняя область абсолюта переходит в себя. Формула (4) показывает, что преобразование f Λ сохраняет расстояние между любыми двумя точками плоскости Λ2, поэтому fΛ называется движением плоскости Λ2. Очевидно, множество всех движений плоскости Λ2 образует группу, которая индуцируется группой HQ.

Две фигуры F, F'Î Λ2 называются равными (конгруэнтными), если они HQ – эквивалентны.

Каждое преобразование fÎHQ переводит любой автополярный трехвершинник второго рода для абсолюта Q в автополярный трехвершинник второго рода для этого же абсолюта. Поэтому движение fΛ, которое индуцируется преобразованием f, однозначно определяется заданием упорядоченной пары реперов: R=(A1, A2, A3, Е), R'=(A'1, A'2, A'3, Е'), где A1A2A3 и A'1A'2A'3— автополярные трехвершинники второго рода для абсолюта Q и Е, Е'ÎQ. Обратно: пусть (A1, A2, A3, Е) и (A'1, A’2, A’3, Е') — два репера, удовлетворяющие вышеуказанным условиям. Тогда проективное преобразование f, которое переводит репер R в репер R', принадлежит стационарной подгруппе HQ, поэтому порождает некоторое движение f Λ. Мы доказали следующее утверждение: каковы бы ни были два репера R=(A1,A2,A3,Е) и R'=(A'1, A'2, A'3, Е'), где A1A2A3 и A'1 A'2 A'3— автополярные трехвершинники второго рода для абсолюта Q, а Е, Е'ÎQ, существует одно и только одно движение fΛ плоскости Λ2, которое индуцируется проективным преобразованием f e HQ, переводящим репер R в репер R'.

Замечание. Заметим, что плоскость Лобачевского может быть реализована «в малом» на поверхности постоянной отрицательной кривизны, т. е. на псевдосфере. Пусть F— гладкая элементарная поверхность достаточно малого размера. (Это значит, что вся она лежит в некоторой e-окрестности одной из своих точек при достаточно малом e.) Тогда геодезические линии поверхности F являются аналогом прямых линий на плоскости. Если F лежит на псевдосфере, то (как и на плоскости Лобачевского) сумма углов геодезического треугольника поверхности F меньше p. Поэтому можно сказать, что на псевдосфере реализуется «в малом» геометрия Лобачевского.

О свойствах параллельных и расходящихся прямых на плоскости Лобачевского

1. Так как все интерпретации системы аксиом ΣΛ2 плоскости Лобачевского изоморфны, то всю геометрию Á (ΣΛ2) можно получить с помощью одной из них, например, с помощью интерпретации Кэли — Клейна.

Возьмем на плоскости Λ2 прямую UV и точку А, не лежащую на этой прямой (рис.3-3). Через точку А проведем прямые U'V и UV’. Рассмотрим прямые UV’ и U'V. Эти прямые не пересекаются на плоскости Лобачевского Λ2. Но для произвольной точки СÎUV любой внутренний луч AD угла CAV пересекает луч CV. Следовательно, по определению параллельных прямых на плоскости Λ2 (§1 Гл.2) прямая U'V параллельна прямой UV. Мы знаем, что отношение параллельности двух прямых на плоскости Лобачевского симметрично (§3 Гл.2, теорема 1). Следовательно, и прямая UV параллельна прямой U'V. Мы скажем, что эти прямые параллельны в направлении V. Точно так же убеждаемся, что прямые VU и VU параллельны в направлении U.

Таким образом, в интерпретации Кэли — Клейна параллельные прямые изображаются хордами абсолюта Q, имеющими общий конец.

Прямые UV и MN на рисунке 3-3 расходятся. Можно сказать, что расходящиеся прямые изображаются такими хордами абсолюта, что содержащие их проективные прямые пересекаются в точке, внешней относительно абсолюта.

2. В §3 Гл.2 мы изучили некоторые свойства параллельных прямых на плоскости Лобачевского. Рассмотрим еще два свойства, для доказательства которых воспользуемся моделью Кэли — Клейна, так как на этой модели эти свойства доказываются значительно проще.

 Скачать реферат