Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей в основной школе

Не менее важным является и умение вычислять статистические характеристики по данным представленными в диаграмме.

На диаграмме представлены данные о числе болельщиков, посетивших футбольные матчи на стадионе «Динамо» за последний месяц. Найдите размах посещаемости и среднюю посещаемость матча, округлив ее до сотен.

По

диаграмме мы можем сразу вычислить наибольшее и наименьшее значения и найти размах. Средняя посещаемость для данного случая это среднее арифметическое ряда этих данных.

К 7 классу учащиеся уже должны иметь навыки систематического перебора и быть знакомы с основными методами подсчета возможных вариантов. В 7 классе продолжаем решать задачи на подсчет возможных вариантов различными способами, а также вводим понятие перестановки.

Раньше учащиеся уже сталкивались с перестановками, когда подсчитывали сколькими способами можно упорядочить несколько (2,3 или 4) элементов, но само понятие перестановки еще не вводилось.

На данный момент мы уже знаем, количество перестановок для 2, 3 и 4-ех элементных множеств.

В турнире участвуют четыре человека. Сколькими способами могут быть распределены места между ними?

Решим эту задачу, используя правило умножения. Первое место может занять любой из четырех участников. При этом второе место может занять любой из трех оставшихся, третье – любой из двух оставшихся, а на четвертом месте остается последний участник. Значит, места между участниками могут быть распределены 4*3*2*1 = 24 способами.

Мы искали, сколько различных упорядоченных наборов мы можем составить, имея некоторое число элементов, каждый из таких упорядоченных наборов, есть перестановка. В рассмотренном примере мы фактически нашли число перестановок для четырех элементов.

А что если множество состоит не из четырех, а например, из десяти элементов? Тогда всего будет 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1=3 628 880 перестановок. Т.е. произведение первых 10 натуральных чисел. Но для еще большего количества элементов уже будет сложно подсчитать число перестановок. В математике есть специальное обозначение для краткой записи произведения нескольких первых натуральных чисел. Произведение, например, первых десяти натуральных чисел обозначают 10! – и читается как «десять факториал». 0!=1 по определению.

Рассуждения, использованные в примере, показывают, что число перестановок для множества из 4 элементов равно 4!, точно также для множества, например, из 10 элементов число перестановок равно 10!, и вообще: число перестановок для множеств из п элементов равно п!.

Сколькими способами можно составить маршрут путешествия, проходящего через 7 городов.

У нас есть 7 городов и нужно составить маршрут по этим городам, то есть фактически, нам нужно рассмотреть все перестановки этих семи городов. Мы уже знаем формулу, поэтому получаем 7!.

Нужно дать несколько упражнений на вычисление выражений с факториалами, чтоб учащиеся лучше овладели навыками работы с ними. Верно ли, что:

а) 10!=10*9! б) 10!=2!*5! в) 12!/11!=12?

2) найдите значения выражения 16! : 14! * 3!

В некоторых задачах на подсчет числа перестановок накладываются дополнительные условия, и для решения задачи кроме подсчета числа перестановок необходимо произвести другие действия.

Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?

Число всех возможных перестановок цифр 0, 2, 4, 6 будет 4!, но нужно обратить внимание учащихся на 0 и из этого числа перестановок нужно исключить те числа, которые начинаются с 0. Это всевозможные перестановки цифр 2, 4, 6, их количество равно 3!. Таким образом, число искомых чисел будет равно 4!-3!.

Имеется 9 различных книг, четыре из которых – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Сначала рассмотрим все учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг. Это можно сделать 6! способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить 4! перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению 6!*4!

В теории вероятностей вновь обращаемся к экспериментам. Можно использовать результаты экспериментов проведенных ранее, и провести новые опыты. Результаты проведенных экспериментов будут нагляднее, если по данным таблицы зависимость частоты появления результата «острие вниз» от количества экспериментов представить графически. Ось абсцисс – число экспериментов, ось ординат – частота появления результата «острие вниз».

Зная относительную вероятность события (частотную) можно прогнозировать частоту его появления в будущем.

Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов приблизительно равна 0,012. В скольких случаях из 10 000 рождений можно ожидать появления близнецов?

Мы знаем частоту события «родится близнец» и знаем количество всех исходов, тогда пользуясь формулой, можем вычислить количество таких исходов из 10 000. 10 000*0,012=120. То есть мы можем предположить, что из 10 000 рождений, в 120 случаях родятся близнецы. Хотя это вовсе не обязательно так.

За лето на Черноморском побережье было 67 солнечных дней. Какова частота солнечных дней на побережье за лето? Частота пасмурных дней?

Мы знаем, сколько раз происходили события «солнечный день» и «пасмурный день», чтобы вычислить их частоту необходимо знать количество всех летних дней. Но мы без проблем можем это сделать, так как точно знаем, сколько дней в июне, июле и августе вместе взятых, 92 дня.

В школьной лотерее распространили 400 билетов, из которых выигрышными являются 50.

а) Какова вероятность выигрыша при покупке одного билета?

б) Сколько следует приобрести билетов, чтобы вероятность того, что хотя бы один билет выигрышный, была бы равна 100%?

§4. Методика реализации стохастической линии в 8 классе.

Основные задачи:

· По статистическим данным, представленным в таблице необходимо уметь находить основные статистические характеристики.

· Познакомить с еще одной статистической характеристикой – медианой ряда, формирование умений по ее нахождению

· Рассмотрение равновероятных событий, и введение классического определения вероятности.

· Представление о геометрической вероятности

В 7 классе мы уже рассматривали примеры, в которых основные статистические характеристики находили по таблицам.

Рассмотрим таблицу №1, в которой содержатся оценки, полученные за последнюю контрольную работу учащимися 8 класса.

 Скачать реферат