Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей в основной школе

Однако нахождение среднего арифметического или моды ряда далеко не всегда позволяет делать надежные выводы на основе статистических данных.

Например, на планете Меркурий средняя температура +15˚. Исходя из этого статистического показателя, можно подумать, что на Меркурии умеренный климат, удобный для жизни людей. Однако на самом деле это не так. Температура на Меркурии колеблется от -1

50˚ до +350˚.

Значит, если у нас есть ряд данных, то для обоснованных выводов и надежных прогнозов на их основе помимо средних значений надо еще указать, насколько используемые данные различаются между собой. Одним из статистических показателей различия или разброса данных является размах. Размах – это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных. Для температуры на Меркурии, например, размах равен 350˚-(-150˚)= 500˚. Конечно, такого перепада температур человек выдержать не может.

Помимо размаха, во многих случаях важны сами наибольшие или наименьшие значения данных. Например, если посылается спутник для исследования того же Меркурия, необходимо, чтобы приборы работали и при максимальных, и при минимальных возможных там температурах.

Сначала нужно рассмотреть задачи, где дан конкретный ряд данных и нужно определить его среднее арифметическое, моду и размах. А затем перейти к задачам, где необходимо понимать смысл этих характеристик.

Рассмотрим задачу, которая позволяет увидеть практическую значимость данных статистических характеристик.

Некий городской житель решил переехать в деревню. Сведения об урожайности картофеля (ц/га) в двух селах за последние годы таковы:

Село А: 180,50,60,100, 170,60, 150, 90, 120,70, 60,160, 90, 170,90,180, 160.

Село Б: 100, 110, 120, 100, 100, 110, 100, 120, 130, 130, 100, 130, 110.

Какому из этих мест он отдаст предпочтение?

Что же может послужить критерием принятия решения. Если посчитать среднее значение. То получим, что в селе А средняя урожайность немного выше, чем в селе Б. Но здесь нужно обратить внимание и на другой статистический показатель – размах ряда, т.к. мы можем заметить, что в селе А урожайность, по сравнению со средним значением, колеблется. В селе А разброс значений урожайности больше чем в селе Б. В селе А размах равен 130, а в селе Б размах равен 30. Исходя из полученных данных, можно сделать вывод, что, видимо, лучше выбрать несколько меньшее значение средней урожайности, но при большей ее стабильности. Устойчивость урожая особенно важна для человека, еще не имеющего опыта приусадебного хозяйства.

В отделе мужской обуви универмага в течение дня производился учет размеров купленной обуви. Были получены следующие результаты: 44, 40, 43, 39, 42, 42, 45, 41, 43, 43, 41, 42, 46, 40, 41, 42, 39, 42, 45, 42, 43, 44, 44, 41, 42. Представьте эти результаты в виде таблицы:

Какой размер обуви наиболее распространен?

Исходя из вопроса, делаем вывод, что в данной задаче нам требуется найти моду ряда размеров, то есть узнать, какой размер пользуется большим спросом. Таблица позволяет быстро это сделать.

Бензоколонка работает круглосуточно без выходных. За январь выручка составила 71 796 000 р. Какова была в январе средняя выручка за сутки?

В данной задаче необходимо понимать, что требуется найти. Раз требуется найти среднюю выручку, то делаем вывод, что необходимо найти среднее арифметическое. Но до этого учащиеся имели дело непосредственно с рядом данных. В данной ситуации мы имеем, что сумма выручки за 31 день составила 71 796 000 рублей. Тогда мы можем посчитать среднее арифметическое (71 796 000 : 31) = 2 316 000, это и будет средняя выручка за сутки.

Среднее арифметическое ряда, состоящего из десяти чисел, равно 15. К этому ряду приписали число 37. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел?

Так как среднее арифметическое ряда чисел равно 15, а число его членов равно 10, то сумма членов равна 15∙10, т.е. 150. После приписывания числа 37 сумма стала ровно 150+37, т.е. 187, а число членов ряда оказалось равным 11. значит, среднее арифметическое нового ряда равно 187 : 11, т.е. равно 17.

Учащиеся должны уметь вычислять статистические характеристики по данным, представленным в таблице.

При изучении качества продукции выпущенной цехом, определяли число бракованных деталей в каждом из 50 произвольным образом выбранных ящиков с одинаковым числом деталей. Результаты проверки записали в виде таблицы:

Найдите среднее арифметическое, размах и моду ряда данных.

Сначала выпишем упорядоченный ряд данных о количестве бракованных деталей в ящиках. Из таблицы мы вычисляем, что наш ряд содержит 8 нулей, 22 единицы и т.д.

0 … 0 1… 1 2…2 3 … 3 4 4.

8 22 13 5

Таким образом, чтобы вычислить среднее арифметическое, необходимо, вычислить сумму всех его членов, а количество всех членов ряда известно из условия задачи (50 ящиков). Сумма всех членов будет равна 0*8+1*22+2*13+3*5+4*2=71, а количество всех членов будет 50, тогда среднее арифметическое будет 71:50 = 1,42, т.е. чаще встречаются ящики, в которых может быть одна бракованная деталь. Об этом же говорит нам и мода, которая равна 1.

Чтобы вычислить размах, необходимо знать наибольшее и наименьшее значение, т.е. какое наибольшее и наименьшее число бракованных деталей может попасться в ящике, из таблицы мы видим, что это 0 и 4. тогда размах равен 4.

Мода тоже очень легко вычисляется по таблице, так как сразу видно, что наибольшее число ящиков с одной бракованной деталью.

 Скачать реферат