Теоретические основы математических и инструментальных методов экономики

(4.2.3)

Имеем систему дифференциальных уравнений относительно неиз­вестной функции . Решая ее с учетом начальных условий (4.2.2), получим . Это решение и есть траектория, о

твечающая заданному управлению .

Модель дискретной управляемой системы имеет вид системы рекуррентных уравнений:

, .

В векторной форме эту модель можно записать в виде

, (4.2.4)

Здесь t принимает значение . Начальное зна­чение будем считать известным.

В дискретной системе, как и в непрерывной, задание управляющих воздействий при позволяет однозначно определить отвечающую им траекторию системы. При подстановке значения u(t) в правую часть (4.2.4) получаем систему уравнений, которая позволяет при известном значении состояния в момент времени t определить состояние в следующий момент времени. Так как в начальный момент состояние известно, то, подставив его в правую часть (4.2.4), получим

.

Подставляя затем найденное значение и в (4.2.4), так же найдем значение . Продолжая этот процесс, через Т шагов получим последнее искомое значение .

Таким образом, и в дискретном случае уравнения модели (4.2.4) позволяют однозначно определить траекторию системы , если задано управление .

Следовательно, процесс должен удовлетворять следующим ограничениям:

1) при всех ;

2) Пара удовлетворяет системе уравнений процесса:

а) системе (4.2.1) в непрерывном случае при ;

б) системе (4.2.4) в дискретном случае при ;

3) Заданы начальные условия (4.2.2);

4) В непрерывном случае на функции , накла­дываются некоторые дополнительные ограничения, связанные с применимостью употребляемых здесь математических записей. Функцию будем считать кусочно-непрерывной, а век­тор-функцию - непрерывной и кусочно-дифференцируемой.

Процессы , удовлетворяющие условиям 1) – 4), будем называть допустимыми. Таким образом, допустимый процесс - это управляющие воздействия и соответствующая им траектория системы , удовлетворяющие перечисленным ограничениям.

Для постановки оптимизационной задачи необходимо ввести в рассмотрение функционал F, задан­ный на множестве М. Задача оптимального управления будет состоять в выборе элемента множества M, на котором функционал F достигает минимального значения. Такой процесс называют оптимальным процессом, управление - оптимальным управлением, а траекторию оптималь­ной траекторией.

Функционал F, заданный на множестве допустимых процессов, описывает цель, согласно которой оптимизируется процесс.

В задачах оптимального управления для непрерывных систем будем рассматривать функционалы следующего вида:

, (4.2.5)

где ; - задан­ные функции. Выражение (4.2.5) позволяет вычислить для каждого допустимого процесса определенное значение и тем самым задать функционал на множестве допустимых процессов. Для этого необходимо подставить x(t), вместо аргументов функции , которая становится функцией времени, после чего вычислить ее интеграл. Затем к значению интеграла прибавляем значение функции при .

Функционал состоит из двух частей: и . Первое из этих слагаемых оценивает качество процесса на на всем промежутке , второе слагаемое - качество конечного состояния системы. Иногда в за­дачах оптимального управления конечное состояние системы задается. В этом случае второе слагаемое функционала (4.2.5) есть величина постоянная и, следовательно, не влияет на его минимизацию. Такие задачи называются задачами с фик­сированным правым концом траектории.

 Скачать реферат