Теоретические основы математических и инструментальных методов экономики
1) Существуют элемент и число
, при которых
и
при всех
.
2) Существуют последовательность элементов множества М и число
, удовлетворяющее условиям
,
и
при всех
.
Данная теорема имеет важное значение для понимания сущности задачи оптимизации по двум причинам. Во-первых, она говорит о том, что постановка задачи об отыскании наименьшего (наибольшего) значения ограниченного снизу (сверху) функционала имеет смысл. Во-вторых, она объясняет природу решения такой задачи. А именно: решением будет либо определенный элемент множества М, минимизирующий (максимизирующий) функционал
, либо последовательность
элементов множества М, являющаяся минимизирующей (максимизирующей) последовательностью. В первом случае можно говорить о точном решении задачи, а во втором - о приближенном.
Задачи оптимизации управляемых процессов (оптимального управления) являются частными по отношению к сформулированной выше общей задаче оптимизации. Рассмотрим постанову задач оптимального управления.
Введем некоторые понятия.
Важнейшими из них являются понятия состояния системы и управления. Будем рассматривать системы, состояние которых может быть в любой момент времени определено вектором х n-мерного пространства с координатами . Пространство Х будем называть пространством состояний системы.
Так как система изменяется во времени, то ее поведение можно описать последовательностью состояний. Такую последовательность системы называют ее траекторией.
Переменная t (называется аргументом процесса) может быть некоторым отрезком числовой прямой () или отрезком натурального ряда (
). В первом случае процесс, происходящий в системе, называется непрерывным, во втором случае - многошаговым, а системы - соответственно непрерывными и дискретными.
Изменение состояния системы, т. е. процесс в ней, может происходить в результате управляющих воздействий. Будем рассматривать системы, управляющие воздействия в которых моделируются с помощью элементов r-мерного пространства U:
,
.
Управляющие воздействия могут задаваться в виде функций от t, т.е.
.
На допустимые состояния системы и управления
могут быть наложены ограничения. Рассмотрим множество троек
- совокупность
- мерных векторов в пространстве
. Тогда ограничения на состояние системы и управление в самом общем случае могут быть записаны в виде
,
где - некоторая область (подмножество) рассматриваемого
- мерного пространства. Ограничения на величины
,
в каждый фиксированный момент времени t могут быть заданы и в виде
,
где Vt - сечение множества V при заданном значении t.
Пару функций назовем процессом. Между функциями
имеется связь: как только задано управление
системой, последовательность ее состояний (траектория системы)
определяется однозначно. Связь между
и
моделируется по-разному в зависимости от того, является система непрерывной или дискретной.
Для непрерывных систем модели процессов задаются системой дифференциальных уравнений вида
,
или в векторной форме
. (4.2.1)
Пусть задано состояние, в котором система находилась в начальный момент . Для простоты этот момент примем равным нулю, а момент окончания процесса
- равным Т. Тогда аргумент процесса t изменяется в пределах
, а начальным состоянием системы будет вектор
, (4.2.2)
где - начальное значение i-й координаты вектора состояния системы.
Проанализируем, каким образом модель отражает связь между управлениями и состоянием системы, изменяющимся под их воздействием. Пусть на промежутке задано управление
. Подставляя его в правую часть системы (4.2.3), получим
Другие рефераты на тему «Экономико-математическое моделирование»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Выборочные исследования в эконометрике
- Временные характеристики и функция времени. Графическое представление частотных характеристик
- Автоматизированный априорный анализ статистической совокупности в среде MS Excel
- Биматричные игры. Поиск равновесных ситуаций
- Анализ рядов распределения
- Анализ состояния финансовых рынков на основе методов нелинейной динамики
- Безработица - основные определения и измерение. Потоки, запасы, утечки, инъекции в модели