Теоретические основы математических и инструментальных методов экономики

Пусть задано выпуклое и замкнутое множество . Рассмотрим множество

={}, =(>,…,), Î.

где () — вогнутые (выпуклые вверх) непрерывные на скалярные функции. В теории математического программирования каждый элемент Î принято называть допустимым планом, а само множество — множеством допустимых планов.

Формальная постановка задачи выпуклого программирования

Задачу

,

где выпукла, а определяется вышеприведенными условиями, называется основной задачей выпуклого программирования.

Определение означает, что ставится задача:

Если существует минимальное значение функции на множестве , то среди всех допустимых планов найти оптимальный план , для которого

==

при этом число называют значением задачи.

Если оптимального плана не существует, то требуется

· либо найти значение задачи как точную нижнюю грань значений функции на множестве :

=

· либо убедиться, что неограничена снизу на множестве ;

· либо убедиться в том, что множество допустимых планов пусто.

Для решения предложенной оптимизационной задачи следует выполнить следующие действия:

· Определить множество .

· Определить вектор-функцию =(,…,) и вектор Î.

· Определить множество допустимых планов ={}.

· Привести задачу к стандартной форме основной задачи выпуклого программирования и определить оптимизируемую функцию .

· Проверить, является ли полученная оптимизационная задача ЗВП, для этого

· проверить на выпуклость множество ;

· проверить на выпуклость функцию .

В случае успеха п. 5

· Построить функцию Лагранжа полученной ЗВП.

· С помощью дифференциальных условий Куна-Таккера найти седловые точки построенной функции Лагранжа.

В случае неудачи п. 5 попытаться найти другие методы решения задачи.

Методы субградиентной оптимизации. Эти итеративные процедуры формируют последовательность векторов {lk}. Начиная с некоторого начального значения l0 эти вектора меняются по следующему правилу

lk+1 = lk + tk (A xk - b),

где xk — оптимальное решение задачи , а tk — размер шага. Фундаментальный теоретический результат заключается в том, что [14]

.

Размер шага на практике обычно выбирают, следуя [11],

где q k — скаляр, 0 < q k 2 и z* — верхняя граница для n(D). Обычно z* получают эвристикой для P. В методе ветвей и границ z* — текущий рекорд. Последовательность q k, как правило, начинается с q 0=2 и затем q k делится пополам, через фиксированное число итераций, зависящее от размерности задачи.

Элементы функционального анализа. Метрические, линейные и нормированные пространства. Эвклидово пространство. Гильбертово пространство. Линейные операторы и функционалы в линейных нормированных пространствах

Функциональный анализ, часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов классического анализа, топологии и алгебры. Абстрагируясь от конкретных ситуаций, удаётся выделить аксиомы и на их основе построить теории, включающие в себя классические задачи как частный случай и дающие возможность решать новые задачи. Сам процесс абстрагирования имеет самостоятельное значение, проясняя ситуацию, отбрасывая лишнее и открывая неожиданные связи. В результате удаётся глубже проникнуть в сущность математических понятий и проложить новые пути исследования.

Развитие Ф. а. происходило параллельно с развитием современной теоретической физики, при этом выяснилось, что язык Ф. а. наиболее адекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и т.п. В свою очередь эти физические теории оказали существенное влияние на проблематику и методы Ф. а.

1. Линейные пространства. Базис

Одно из основных понятий современной математики - линейное пространство.

Пусть L - некоторое множество объектов произвольной природы, а C - множество комплексных чисел. Множество L называют линейным пространством, если на нем определены две операции: 1) операция сложения любых двух элементов этого множества и 2) операция умножения элементов этого множества на комплексное число, причем эти операции удовлетворяют некоторым естественным аксиомам. Более точно:

 Скачать реферат