Анализ рядов распределения

2.1.3 Межгрупповая дисперсия. Правило сложения дисперсий

Дисперсия, в отличие от других характеристик вариации, является аддитивной величиной. То есть в совокупности, которая разделена на группы по факторному признаку х, дисперсия результативного признака y может быть разложена на дисперсию в каждой группе (внутригрупповую) и дисперсию между группами (межгрупповую). Тогда, нар

яду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом, становится возможным изучение вариации в каждой группе, а также между этими группами.

Общая дисперсияизмеряет вариацию признака у по всей совокупности под влиянием всех факторов, вызвавших эту вариацию (отклонения). Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака у от общей средней и может быть вычислена как простая или взвешенная дисперсия.

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию результативного признака у, вызванную влиянием признака-фактора х, положенного в основу группировки. Она характеризует вариацию групповых средних и равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней :

,

где - средняя арифметическая i-той группы;

- численность единиц в i-той группе (частота i-той группы);

- общая средняя совокупности.

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. ту часть вариации, которая вызвана влиянием неучтенных факторов и не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует вариацию индивидуальных значений относительно групповых средних, равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака у внутри группы от средней арифметической этой группы (групповой средней) и вычисляется как простая или взвешенная дисперсия для каждой группы:

или ,

где - число единиц в группе.

На основании внутригрупповых дисперсий по каждой группе можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий:

.

Взаимосвязь между тремя дисперсиями получила название правила сложения дисперсий, согласно которому общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий:

Пример. При изучении влияния тарифного разряда (квалификации) рабочих на уровень производительности их труда получены следующие данные.

Таблица 5 - Распределение рабочих по среднечасовой выработке.

В данном примере рабочие разделены на две группы по факторному признаку х- квалификации, которая характеризуется их разрядом. Результативный признак - выработка - варьируется как под его влиянием (межгрупповая вариация), так и за счет других случайных факторов (внутригрупповая вариация). Задача заключается в измерении этих вариаций с помощью трех дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.

Определяем групповые и общую средние выработки, шт:

по первой группе шт.,

по второй группе шт.,

по двум группам шт.

Рассчитываем и заносим в таблицу и .

Рассчитываем внутригрупповые дисперсии:

по первой группе ,

по второй группе

Внутригрупповые дисперсии показывают вариации выработки в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами (состояние оборудования, обеспеченность материалами и инструментами, возраст рабочих и т.д.), кроме различий в квалификации, т.к внутри группы все рабочие имеют одинаковый разряд.

 Скачать реферат