Анализ рядов распределения

где - ордината кривой нормального распределения (частости);

е=2,7182 - основание натурального логарифма;

p=3,1415 - постоянное число:

- нормированное отклонение.

Кривая нормального распределения симметрична относительно width=40 height=21 src="images/referats/14111/image128.png">, поэтому величину называют центром распределения. На ее вид влияют значения и s. Чем больше s при неизменной , тем более плоской и растянутой вдоль оси абсцисс становится кривая, и наоборот.

Если s остается неизменной, а изменяется, то кривые нормального распределения имеют одинаковую форму, но отличаются положением максимальной ординаты.

Особенности кривой нормального распределения (рис.2):

Кривая симметрична и имеет максимум в точке, где .

Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности.

Кривая имеет две точки перегиба при t = ±1, т.е. при таких значениях х, когда отклонение варианты от средней равно среднему квадратическому отклонению: .

При нормальном распределении 68,3% всех исследуемых частот находятся в пределах от до . В промежутке, ограниченном точками , находится 95,4%, а в промежутке , соответственно, 99,7% всех частот исследуемой совокупности (рис.1).

y

s s х

Рис.1. Кривая нормального распределения

3.2 Выравнивание эмпирического распределения по кривой нормального распределения

В анализе распределения большое значение имеет, насколько эмпирическое распределение признака соответствует нормальному. Для этого частоты фактического распределения нужно сравнить с теоретическими, которые характерны для нормального распределения. Значит, нужно по фактическим данным вычислить теоретические частоты кривой нормального распределения, являющиеся функцией нормированных отклонений (см. уравнение кривой ).

Иначе говоря, эмпирическую кривую распределения нужно выравнить кривой нормального распределения.

Порядок расчета теоретических частот кривой нормального распределения:

по эмпирическим данным рассчитывают среднюю арифметическую ряда и среднее квадратическое отклонение s; находят нормированное отклонение t каждой варианты от средней арифметической; по таблице распределения функции определяют ее значения; вычисляют теоретические частоты по формуле:

,

где N - объем совокупности,

і - длина интервала;

строят и сравнивают графики эмпирические и теоретических частот (кривых распределения).

Сумма теоретических и эмпирических частот должна быть равной, но может не совпадать из-за округлений в расчетах.

3.3 Критерии согласия

Так как все предположения о характере того или иного распределения - это гипотезы, то они должны быть подвергнуты статистической проверке с помощью критериев согласия, которые дают возможность установить, когда расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами следует признать несущественными, т.е. случайными, а когда - существенными (неслучайными). Таким образом, критерии согласия позволяют отвергнуть или подтвердить правильность выдвинутой при выравнивании ряда гипотезы о характере распределения в эмпирическом ряду.

Существует ряд критериев согласия. Чаще применяют критерии Пирсона, Романовского и Колмогорова.

Критерий согласия Пирсона - один из основных:

где k - число групп, на которые разбито эмпирическое распределение,

- наблюдаемая частота признака в i-й группе,

- теоретическая частота.

Для распределения составлены таблицы, где указано критическое значение критерия согласия для выбранного уровня значимости и степеней свободы df. (или )

Уровень значимости - вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т.е. вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза. В статистике пользуются тремя уровнями: a= 0,10, тогда Р=0,90 (в 10 случаях их 100 может быть отвергнута правильная гипотеза); a= 0,05, тогда Р=0,95; a= 0,01, тогда Р=0,99.

Число степеней свободы df определяется как число групп в ряду распределения минус число связей: df = k -z. Под числом связей понимается число показателей эмпирического ряда, использованных при вычислении теоретических частот, т.е. показателей, связывающих эмпирические и теоретические частоты.

Например, при выравнивании по кривой нормального распределения имеется три связи:

; ; .

Поэтому при выравнивании по кривой нормального распределения число степеней свободы определяется как df = k -3.

Для оценки существенности расчетное значение сравнивается с табличным .

При полном совпадении теоретического и эмпирического распределений , в противном случае >0. Если >, то при заданном уровне значимости и числе степеней свободы гипотезу о несущественности (случайности) расхождений отклоняем.

 Скачать реферат