Элективный курс по математике для классов спортивно-оборонного профиля

Для этого пользуются функцией Лапласа:

P[x1<(X-μ)<x2]=Ф()-Ф().

Задача 1. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 р. и десять выигрышей по 1 р. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного вы

игрыша для владельца лотерейного билета.

Решение. Напишем возможные значения Х: х1=50; х2=1; х3=0. Вероятности этих возможных значений равны: р1=0,01; р2= 0,1; р3=1-(0,01+0,1)=0,89.

Напишем исходный закон распределения:

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1

Задача 2. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие в пути повредиться равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу придут 3 негодных изделия.

Решение. По условию n=5000, р=0,0002, к=3. Найдем :

=np=1

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна:

.

Задача 3. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

Решение. Найдем математическое ожидание:

.

Найдем всевозможные значения квадрата отклонения:

.

Напишем закон квадрата отклонения:

По определению:

.

Используя формулу D(Х)=M(X)2-[М(Х)]2 можно найти дисперсию гораздо быстрее:

.

Задачи для самостоятельного решения

3.1

Вероятность поражения мишени при одном выстреле 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз.

3.2

Линия связи, имеющая к каналов связывает два города, где n абонентов, каждый из которых пользуется телефоном в среднем 5 минут в час. Найти вероятность безотказного обслуживания абонентов.

3.3

В лотерее 40000 билетов, ценные выигрыши попадают на 3 билета. Определить: а) вероятность получения хотя бы одного выигрыша на 1000 билетов; б) сколько необходимо приобрести билетов, чтобы вероятность выигрыша была не менее 0,5.

3.4

Найти математическое ожидание дискретной случайно величины Х заданной законом распределения:

А)

Б)

3.5

Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения

Найти х и р, если М(Х)=8

3.6

Дискретная случайная величина имеет только 2 возможных значения х и у, причем x<y. Вероятность того что Х примет значение х 0,6. Найти закон распределения величины Х, если математическое ожидание и дисперсия известны: М(Х)=1,4, D(X)=0.24.

II Статистика.

Определение: Простой гипотезой будем называть любое предположение, однозначно определяющее распределение выборки Х.

Пусть даны r распределителей P1, …, Pr и пусть нам известно что Х есть выборка одного из этих распределений. Задача состоит в том, чтобы определить, к какому именно Р относится Х.

Определение: Нулевой называют выдвинутую гипотезу.

Проверка гипотезы о разности двух средних значений

Проверка гипотезы о разности между двумя средними арифметическими – одна из наиболее часто встречающихся задач исследовательской работы.

Рассмотрим следующий пример: Две группы велосипедистов использовали в соревновательном периоде два различных метода силовой подготовки. Первая группа весь объем силовых упражнений распределила на весь сезон. Вторая группа тот же объем использовала во второй половине сезона, а в первой совсем не применяла силовых упражнений. Эффективность методов тренировки оценивалась по приросту результатов на дистанции 500 м с места, которые оказались следующими (в секундах):

Первая группа (Х1): 1,0; 2,1; 1,2; 1,9; 0,9; 0,8; 2,0; 0,8; 1,5; 2,0.

Вторая группа (Х2): 0,8; 1,0; 1,3; 0,7; 0,7; 0,4; 0,9; 1,4; 1,5; 1,5.

Рассчитаем средние арифметические для каждой группы:

Таким образом, средний прирост спортивного результата в первой группе на 0,4 сек. Выше, чем во второй. Следует отметить, что по исходным данным группы были однородны. Очевидно, разность между средними арифметическими не говорит о том, что один метод тренировки эффективнее, чем другой. Даже если бы обе группы использовали одинаковые методы тренировки, средние арифметические почти наверняка были бы разными, так как прирост результатов зависти не только от методов тренировки, но и определяется некоторыми другими факторами, например, питанием спортсменов, занятостью в учебе или работе, болезнями и т.п. При не большом числе испытуемых эти факторы могли бы сложится более благоприятно, для какой то одной группы. Следовательно, задача состоит в том, чтобы установить, можно ли объяснить различие в среднем приросте результата случайностью или оно отражает тот факт, что один метод тренировки эффективнее, чем другой.