Развитие логического мышления в процессе обучения математике

Как же эти проблемы, относящиеся к языку и мышлению человека решаются в математике, т.е. в достаточно ограниченном контексте? Встанем в исходном вопросе, прежде всего на точку зрения здравого смысла: будем считать, что предложение "Из равенства = –1 следует, что x = 1" не является высказыванием, поскольку не существует н

и одного значения x, при котором равенство было бы верным = –1.

С помощью принятой нами символики это предложение записывается в виде = –1 Þ x = 1, где = –1 и x = 1 – две обычные высказывательные формы, и "странности" возникают только из-за того, что они "плохо" соединяются знаком следствия, из-за того, что первая из этих форм всегда является ложным высказыванием – тождественно ложна.

Но по той же самой причине нельзя считать высказыванием и предложение "xÎÆ Þ xÎA" – никакой предмет не может принадлежать пустому множеству. А это предложение имеет в математике вполне разумный смысл: оно означает, что Æ Ì A: пустое множество является подмножеством любого множества.

С точки зрения, на которую мы встали, придется отказаться и от этого утверждения. Перестает быть правильной и стандартная схема доказательства равенств с множествами, основанная на равносильности A = B Û (A Ì B)&(B ÌA), – равенство Æ = Æ истинно, а включение Æ Ì Æ ложно. А, казалось бы, абсолютно очевидное предложение A Ç B Ì A верно только при условии, что пересечение A Ç B не пусто.

Но, что самое главное, эти логические "тонкости" имеют самое непосредственное отношение и к обычной школьной математике. Так, вряд ли кто-нибудь из вас сомневается, что a = –1 Þ a2 = 1, но подставив в эту равносильностьвместо a мы немедленно получим, согласно "временно" принятой точке зрения, бессмыслицу. Таким образом, даже простейшую операцию подстановки в общем виде проводить нельзя.

Другими словами, встав на точку зрения "здравого смысла", очень многое надо будет пересматривать. А какие же последствия влечет альтернативная точка зрения – если считать, что исходное предложение = –1 Þ x = 1 все же является высказыванием?

В этом случае мы можем воспользоваться определением следствия P(x) Þ Q(x) и немедленно обнаружим, что в нем речь идет только о значениях переменной, при которых посылка P(x) истинна. Как же быть в случае, когда таких значений нет?

Для ответа на этот вопрос, как ни странно, обратимся к . обычному языку. Допустим, если в точке Земли с координатами 54°32' северной широты и 72°24' восточной долготы всплыл кит и выпустил фонтан воды, то этот кит живой? Разумеется, ответ будет да, не задумываясь при этом над тем, всплыл он или не всплыл. А между тем точка с данными координатами расположена на суше, и кита в ней не может быть!

Другими словами, делая "в жизни" определенные выводы, говоря о следствиях, мы можем не задумываться об истинности посылок – такие выводы вполне могут выть правильными. Точно так же, если в 10г классе 7-й школы г. Верхне-Вартовска все мальчики хорошо играют в футбол, а Вася Сергеев учится в этом классе, то мы немедленно сделаем вывод, что он хорошо играет в футбол, даже существует ли такой город, есть ли в нем такая школа и такой класс, и учится ли в этом классе хотя бы один Вася Сергеев.

Это и есть логика – искусство проведения правильных рассуждений, основываясь на связях между предложениями, а не на истинности самих этих предложений. И если наши посылки истинны, то при правильных рассуждениях и выводы будут истинными. Но именно это и обеспечивается нашим определением следствия: когда мы говорим об истинности следствия P(x) Þ Q(x), мы не говорим ни об истинности посылки P(x), ни об истинности заключения Q(x), но гарантируем истинность заключения в случаях, когда истинна посылка. И нам ничто не мешает считать следствие P(x) Þ Q(x) истинным и в случае, когда его посылка P(x) – как говорят, "из лжи следует все, что угодно".

Подойдем к этому вопросу еще с одной стороны. Раз уж мы признаем предложения P(x) Þ Q(x), или, по-русски, "Из P(x) следует Q(x)" с тождественно ложной посылкой высказываниями, то мы должны уметь строить его отрицание, и на уровне обычного языка его отрицание есть "Из P(x) не следует Q(x)", т.е., согласно определению следствия, существует такое значение x, при котором посылка P(x) истинна, а заключение Q(x) ложно.

Попробуйте, однако, найти такое значение x, при котором посылка = –1 истинна, а заключение x = 1 ложно – ясно, что это не удастся, и именно потому, что равенство = –1 всегда ложно. Так обстоит дело и в общем случае: если посылка P(x) тождественно ложна, то отрицание следствия P(x) Þ Q(x), понимаемое естественным образом по-русски или записанное на логическом языке в виде x(P(x)&ØQ(x)), очевидно, ложно, а стало быть, само следствие истинно.

Впервые подобные эффекты языка и логики были открыты не математиками, а философами-логиками в эпоху Возрождения, занимавшимися так называемой схоластикой. В настоящее время словом "схоластика" называют пустопорожние рассуждения, жонглирование словами и фразами, и основным предметом дискуссий схоластов называют обсуждение вопроса, сколько чертей могут поместиться на булавочной головке. Между тем даже русское слово школа имеет со словом "схоластика" общее происхождение.

Основателем логики является один из величайших ученых в истории человечества, древнегреческий философ Аристотель, построивший, можно сказать, систему аксиом, аксиоматику логики, отражающую общечеловеческую логику, заложенную в языке. В его системе общее высказывание типа P(x) Þ Q(x) формулировалось в виде "Все S суть P", т.е. все объекты, обладающие свойством S, обладают и свойством P, но для его истинности было необходимо, чтобы хотя бы один объект, обладающий свойством S, существовали: например, понятно, что все люди смертны, но утверждение "Все гаглики являются мымриками" считается, ложным, поскольку гагликов "не бывает".

Аристотелева логика оказалась, однако, не слишком удобной для математики – математики используют логику иную, которую не стоит называть "неаристотелевой", поскольку эти логики отличаются совершенно несущественно, только в "крайних" случаях, а по отношению к таким случаям математика не слишком согласуется с реальным языком – вспомним, например, что множество может не иметь элементов, что часть (подмножество) может совпадать с целым.