Развитие логического мышления в процессе обучения математике

Высказывания и предложения с переменными

Сначала вспомним некоторые понятия, изучавшиеся нами еще в младших классах. Это, прежде всего, предложение с переменной. На протяжении нескольких лет решаем уравнения и неравенства – они и являются "главными" школьными примерами предложений с переменными. И уже из этих примеров можно легко понять, почему они так называются.

Например, ур

авнение x2 = 1 – это предложение русского языка, построенное с соблюдением правил грамматики, в нем есть, в частности, подлежащее (x2) и сказуемое (равно 1). А буква x – это переменная: вместо нее можно подставлять различные конкретные числа. При каждой такой подстановке мы получаем уже обычное для естественного языка предложение – без всяких переменных: например, 22 = 1, (–1)2 = 1, 1002 = 1. Одно из этих предложений истинно, два других ложны.

Предложения, о которых имеет смысл обсуждать вопрос, истинны они или ложны, принято называть высказываниями. Не всякое грамматически правильное предложение русского языка является высказыванием – не имеет смысла обсуждать истинность предложений "Который час?" или "Пусть всегда будет солнце!", так же, как и истинность классического в лингвистике предложения "Зеленые идеи яростно спят", совершенно законного с точки зрения грамматики.

А предложения с переменными часто называют высказывательными формами ("формами для производства высказываний" – как в промышленности, где изделия штампуются с помощью заранее изготовленных форм). Точно так же из предложения с переменной x £ 2 можно "наштамповать" много высказываний – как истинных, так и ложных: 3 £ 2, 2 £ 2, –5£ 2 и т.д.

Предложение может содержать и несколько переменных – например,

2x – y = 1, x2 + y2 = 1, x + y > 2, (a + b)c = ac + bc, a делится на b,

DABC – прямоугольный, ABCD – квадрат,

Город a – столица государства b.

Чтобы такое предложение стало высказыванием, нужно подставить конкретное значение каждой переменной – как говорят, фиксировать каждую переменную.

Однако типичными для математического языка примерами предложений с переменными являются не только уравнения и неравенства. Напротив, в математике – в особенности, в теории – более распространены иные предложения с переменной: например, aÎN – высказывательная форма с переменной a.

Высказывательные формы, как и другие понятия математического языка, "имеют право" на свой способ обозначения – иначе о них невозможно говорить "в общем виде". Его можно даже "угадать" самостоятельно, если заметить аналогию с числовыми выражениями: если выражение содержит одну переменную, т.е. при подстановке вместо переменной числа получается число, так что такие выражения вполне естественно называть числовыми формами.

Точно при такой же замене предложение с переменной превращается в высказывание. Но выражения с одной переменной "в общем виде" обычно обозначают символом типа f(x), g(x), и такое же обозначение используют для высказывательных форм – P(x), Q(x), употребляя при этом прописные латинские буквы.

И так же, как в числовое выражение с переменной можно подставить не любое число, а только число из ее области определения, в высказывательную форму также можно подставлять только те значения, при которых после подстановки получается высказывание, при которых она, как говорят, имеет смысл. Другими словами, каждая высказывательная форма также имеет свою область определения.

В "главном" для школьной математики частном случае высказывательных форм – для уравнений и неравенств – употребляется именно этот общий термин. Для них имеется и специфический термин – область допустимых значений переменной, сокращенно ОДЗ. Обычно говорят "ОДЗ уравнения (или неравенства)", хотя более точно было бы говорить "область значений переменной, допустимых для уравнения (или неравенства)". В этой традиции, конечно, нет никакой языковой ошибки, и здесь проявляется лишь обычное известное вам по урокам литературы явление метонимия, свойственная и математическому языку. Говорим же мы, что дробь правильная, если она меньше 1, хотя точнее было бы говорить, что рациональное число, которой она изображает, меньше 1.

Если форма имеет несколько переменных, то ее область определения зависит от областей изменения ее переменных: так, для формы "x – столица y" переменная x пробегает множество населенных пунктов – скажем, A, а переменная y – множество B государств, а область определения формы – множество всех пар вида (a, b), где a ÎA, bÎB. Такое множество пар часто называют декартовым произведением множеств A и B и обозначают символом A´B. Это название легко объяснить, поскольку декартова плоскость, т.е. плоскость с декартовой системой координат, это R´R – множество пар действительных чисел. Понятно также, почему для краткости пишут R2.

Высказывательные формы с одной переменной можно естественно рассматривать как свойства соответствующих объектов – например, форма Число k – простое соответствует свойству натуральных или целых чисел "быть простым", форма x > 2 – свойству действительных чисел "быть большим 2", форма Четырехугольник ABCD – параллелограмм – свойству четырехугольников "быть параллелограммом".

Точно так же высказывательные формы с более чем одной переменной соответствуют свойствам пар, троек и т.д. Например, форму a||b можно рассматривать как свойство пары прямых "быть параллельными", а форму a||a как аналогичное свойство пары (a, a), первый элемент которой прямая, а второй – плоскость.

В дальнейшем представлены задачи на развитие логического мышления. Они представлены в виде двух групп. Первая группа включает в себя задачи, на развитие логического мышления, которые могут быть реализованы в обычном курсе математики. Вторая же группа предназначена для спецкурсов углубленного изучения математики.

§3. Задачи

Задачи первой группы

Какие из приведенных предложений вы считаете высказываниями или высказывательными формами:

а) x + 1;

б) k делится на 7;

в) x + y = y + x;

г) От перемены мест слагаемых сумма не меняется;

д) Из любого натурального числа a можно вычесть любое натуральное число b;

е) Сумма двух четных чисел является четным числом;

ж) Число 1,5 делится на 3;

з) Квадрат – это параллелограмм, у которого один из углов прямой;

и) 20 = 1;

к) Любое число в нулевой степени равно 1;

л) y = x2;

м) Функция y = x2 не принимает значения –1;

н) Выражение x3 может быть равно 3;

о) Выражение x2 не может быть равно –1;

п) Из натуральных чисел k, k + 1, k + 2 хотя бы одно делится на 3;

р) Любое натуральное число k имеет делители.

Для каждой из заданных высказывательных форм привести, если возможно, примеры значений переменных, при которых они истинны и при которых они ложны:

а) 3x2 + 2x – 5 = 0;

б) x2 + 2x – 6 = 0 и xÎQ;