Развитие логического мышления в процессе обучения математике

Заметим, что применение языка графиков в проведенном решении задачи не следует считать нарушением логической строгости – оно не в меньшей мере строго, чем многие другие часто применяемые соображения, и именно такими соображениями математик решил бы задачу "для себя", для получения правильного ответа. Вряд ли целесообразно предъявлять к учащимся более высокие логические требования, чем

математики предъявляют к самим себе – это было бы хорошей иллюстрацией к известному тезису, формулируемому кратко и точно как "Логика против педагогики".

Формальное решение потребовало бы здесь решения системы иррациональных неравенств –1 < x2 < x1 < 1 (с переменной a)

> –1 и < 1,

которая не так уж сложна, однако учащиеся еще не владеют соответствующим алгоритмическим приемом.

б) Самое трудное, пожалуй, в этой задаче понять, чем она отличается от предыдущей. В самом деле, их формулировки отличаются только одним словом, и эти слова означают вроде бы одно и то же.

Однако есть и один тонкий нюанс чисто языкового характера. Именно, слово все принадлежит и русскому, и математическому языку, и имеет в последнем смысл, который мы описываем с помощью квантора общности. В то же время слово оба – слово обычного русского языка, которое, конечно, может употребляться и в математическом языке, но его точный логический смысл не определен.

Весьма естественно эти два слова отождествить, и тогда а) и б) – это, разумеется, одна и та же задача. С другой стороны, слово все в его математическом понимании не требует существования объектов, о которых идет речь, тогда как, говоря оба, даже в математическом языке, мы, как и в обычном языке, имеем в виду, что эти объекты существуют: оба – это те два объекта, о которых мы уже говорили.

Поэтому в задаче б) следует рассматривать только случай, когда уравнение имеет два, притом различных корня, т.е. случай D > 0. (Если в математике словосочетание для любых двух чисел не исключает возможности, что эти два числа – это на самом деле одно и то же число, то говоря об обоих числах, имеют в виду различные числа.)

3. Закончить запись

а) 3x5 + 11x4 + 10x3 + 2x2 + 10x + 12 = 0 и xÎZ Û .

б) 4x5 – 2x4 – 10x3 – 8x2 + 11x – 15 = 0 и xÎQ Û .

Ответ: а) x = –2, б) x = –1 или x = .

Решение. а) Это утверждение означает, что x – целый корень данного уравнения, так что требуется решить данное уравнение в целых числах, т.е. отобрать корни из множества {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}. При этом положительных корней уравнение не имеет, так что остается всего 6 кандидатов на корни.

Воспользуемся схемой Горнера:

Напомним, что строка закрашивается, если целый делитель не оказался корнем, и для дальнейшего вычисления используется предыдущая строка. Звездочки в клетках поставлены, когда уже очевидно, что в конце строки 0 не получится.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень –2, т.е. равносильно утверждению x = 2.

б) Здесь требуется найти рациональные корни уравнения, и чтобы избежать дробей, умножим обе части на 8: 32x5 – 16x4 – 80x3 – 64x2 + 88x – 120 = 0, или y5 – y4 – 10y3 – 16y2 + 44y – 120, где y = 2x. Так как старший коэффициент этого уравнения равен 1, то все его рациональные корни целые. Убедившись, что 1 и –1 не являются его корнями, применим схему Горнера:

Заметим, что в получившемся многочлене x3 – 4x – 20 нет члена, содержащего x2, и поэтому при замене x на –x он меняет знак; следовательно, если какое-то число является его корнем, то и противоположное ему число является корнем.

Поэтому достаточно проверить положительные делители числа 20, естественно, большие 2, а если заметить, что нечетное число не может быть корнем этого многочлена, то достаточно проверить числа 4, 10 и 20: