Развитие логического мышления в процессе обучения математике

в) 2x2 – x – 1 < 0;

г) x2 – x + 1 > 0;

д) 2x2 – x – 1 < 0 и xÎZ;

е) 134x2 – 32x – 67 < 0;

ж) 2784x2 – 5433x + 2324 < 0;

з) x23 + 31x15 + x7 – 4x2 + 1 = 0 и xÎQ и xÏZ;

и) x37 + 65x22 + 89x12 – 42x8 – 1 < 0;

к) Трехзначное натуральное число n можно представить как произведение трех различных простых множителей;

л) Дробь =19 height=44 src="images/referats/27253/image009.png">может быть записана в виде конечной десятичной дроби;

м) Действительное число y можно представить в виде x2 + 1, где x Î R;

н) Действительное число y можно представить в виде x2 + x – 1, где x Î Q;

о) Действительное число y можно представить в виде x3 + 1, где x Î Q;

п) x > 1 и x > 3; x > 1 или x > 3; x < 3 и x > 2; x > 1 и x < 3; x > 1 или x £ 3;

р) x2 + y2 = z2 (x, y, z ÎN);

с) x3 + y3 = z3 (x, y, z ÎN).

Множества A и B содержат соответственно p и q элементов. Сколько элементов в их декартовом произведении?

Что такое R3?

Исходя из понимания слов русского языка и "главного" частного случая высказывательных форм – уравнений и неравенств, придумайте определение множества истинности для любой высказывательной формы. Как связано множество истинности форм "P(x) и Q (x)" и "P(x) или Q (x)" с множеством истинности форм P(x) и Q (x)?

Задача

Из пункта А в пункт В одновременно выехал велосипедист и вышел пешеход, и в тот же момент времени навстречу им из пункта В выехал автомобилист. Через час после начала движения автомобилист встретил велосипедиста ,а затем, проехав еще 240/17 км., встретил пешехода, посадив его в машину, после чего они отправились вдогонку за велосипедистом и настигли его. С какой скоростью двигался автомобиль, если скорость пешехода была равна 5 км./ч. и АВ= 100 км.?

Решение

Пусть автомобиль двигался со скоростью u км/ч , а велосипедист со скоростью v км/ч .Тогда u+v=100, а из условия встречи автомобилиста с пешеходом после необходимых преобразований получаем, что число u удовлетворяет уравнению 17х-1375х +1200=0. Это уравнение имеет корни 80 и 15/17, следовательно, автомобиль двигался со скоростью либо 80, либо 15/17 км/ч.

Ясно, что задача еще не решена, поскольку мы так и не узнали, с какой именно скоростью двигался автомобиль – 80 или 15/17 км/ч?

Конечно, «физический» аспект задачи подсказывает, что вряд ли возможно движение автомобиля со скоростью 15/17 км/ч и тем более соответствующее этому случаю движение велосипедиста со скоростью 1685/17 км/ч. Однако этот аргумент, очевидно, нематематического характера, и не составляет особого труда подобрать в условии такие числа, при которых «физическая» бессмысленность полученных результатов будет не столь бесспорной.

Естественно проверить сначала, мог ли автомобиль в предложенной в задаче ситуации двигаться со скоростью 15/17 км/ч. Для этого «разыграем» с самого начала все условие задачи: первая фраза не содержит информации, связанной со скоростью автомобиля; далее, автомобилист встретился с велосипедистом в 15/17 км от В, затем встретит перехода, но, посадив его в машину и развернувшись, он не настигнет велосипедиста. Следовательно, автомобиль не мог двигаться со скоростью 15/17 км/ч.

Полученный результат означает, что скорость автомобиля была равна 80 км/ч; подчеркнем, что исследование корня 80, аналогичное проведенному для 15/17, совершенно излишне, поскольку мы знаем, что автомобиль мог двигаться лишь с одной из двух найденных скоростей, а скорость 15/17, как мы показали, противоречит условию задачи.

Какие высказывания истинны, а какие ложны:

а)x ОR: 2x2 – 5x + 4 = 0; е)kОN (703 = 37k);

б)xОR (31x2 – 24x – 11 > 0); ж)x, y ОZ (45x – 25y = 31);

в) xОR (31x2 – 24x – 11 > 0; з)x, yОZ(43x – 25y = 31);

г)xОR (31x2 – 24x + 11 > 0); и)xОNyОNz ОN (x2 + y2 = z2);

д)xОR (31x2 – 24x + 11 > 0);

Решение

а) В "переводе на русский" высказывание означает, что данное уравнение имеет корень; так как его дискриминант равен 25 – 32 < 0, то высказывание ложно.

б) Высказывание ложно, так как, например, при x = 0 данный квадратный трехчлен отрицателен.

в) Высказывание истинно, так как, например, при x = 1 данный квадратный трехчлен положителен.

г) Высказывание истинно, так как дискриминант отрицателен.

д) Высказывание истинно: пример x = 0.

е) В "переводе на русский" высказывание означает, что 703 делится на 37, и, например, деление "уголком" показывает, что оно истинно.

ж) Высказывание ложно, так как левая часть равенства при любых целых x и y делится на 5, а правая на 5 не делится.

з) Высказывание истинно, так как числа 43 и 25 взаимно просты, это следует из общей теории решения линейных уравнений с двумя переменными; для поиска конкретного примера можно рассуждать стандартным образом. Имеем y = = x – 1 + , и поскольку 6 и 25 взаимно просты, то y будет целым, если 3x – 1 делится 25. Перебирая кратные числа 25 и прибавляя к ним 1, находим пример x = 17, а тогда y = 28.

и) Высказывание истинно: пример x = 3, y = 4, z = 5.

1. Найти пересечение:

а){k|kÎZ}Ç{|kÎZ}; б) {|kÎZ}Ç{|kÎZ}.

Ответ: а), б) Z.

Решение

Эта задача, каким бы трудным или непривычным ни показалось ее решение, на самом деле является типичной частью решения тригонометрических уравнений – отбором корней, исключение общих решений из нескольких серий.

Во всех задачах A – первое, B – второе множество в пересечении, C – само искомое пересечение.

а) Множество A есть просто Z. Но целое число k может быть представлено и в виде , т.е. принадлежит множеству B – можно положить k = 2n. Таким образом, A Ì B, и следовательно, AÇB = A = Z.

б) Утверждение xÎA означает, что элемент x есть дробь со знаменателем 3, а xÎВ значит, что x – дробь со знаменателем 2. Другими словами, x = , где kÎZ, но при представлении x как дроби со знаменателем 2 числитель будет, естественно, другим, т.е. x = , и следовательно, = , т.е. 2k = 3n.