Метод координат в школьном курсе геометрии

(умение переводить геометрический язык на аналитический).

5) Раскрывая скобки, получаем:

(умение выполнять алгебраические преобразования).

Так как k по условию любое, то следует рассмотреть 3 случая (в зависимости от числителя):

1. , следователь

но, искомое множество – окружность радиуса с центром в точке О (середина отрезка AB)

2. , следовательно, вся правая часть уравнения равна 0, следовательно, уравнению удовлетворяют только координаты точки О(0;0). Таким образом, искомое множество точек состоит из одной точки О – середины отрезка AB)

3. , следовательно, правая часть уравнения отрицательная, следовательно, координаты любой точки не удовлетворяют уравнению.

(умение выполнять алгебраические преобразования; умение видеть за уравнением конкретный геометрический образ).

Задача №4. Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых: а) ; б) .

Решение:

а) 1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A(0;0).

(умение оптимально выбирать систему координат)

2. В выбранной системе координат:

B(a,0), a=AB.

(умение определять координаты заданных

точек)

3. Возьмем произвольную точку M(x,y).

(умение находить расстояние между точками, заданными координатами)

4. Запишем в координатах условие

Это окружность радиуса 2a (2AB) с центром в точке

(умение выполнять преобразование алгебраических выражений; умение видеть за уравнением конкретный геометрический образ)б) 1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A(0;0). (умение оптимально выбирать систему координат)

2. В выбранной системе координат:

B(a,0), a=AB.

(умение определять координаты заданных точек)

3. Возьмем произвольную точку M(x,y).

(умение находить расстояние между точками, заданными координатами)

4. Запишем в координатах условие .

Это окружность радиуса с центром в точке (умение выполнять преобразование алгебраических выражений; умение видеть за уравнением конкретный геометрический образ)

В данной задаче учащиеся должны уметь преобразовывать алгебраические выражения, выделяя полный квадрат, чтобы получить уравнение окружности. В учебнике Атанасяна для 7-9 классов автор предлагает специальную задачу, чтобы отработать это умение. Рассмотрим ее.

Задача №5. Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найдите координаты центра и радиус каждой окружности:

а) б) в) г) д)

Решение:

а)

Это уравнение является уравнением окружности, центр которой имеет координаты , а радиус равен 5.

б)

Это уравнение является уравнением окружности, центр которой имеет координаты , а радиус равен 1.

в)

Уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки, так как сумма двух квадратов не может быть отрицательным числом. Следовательно, это не уравнение окружности.

г)

Это уравнение является уравнением окружности, центр которой имеет координаты , а радиус равен 5.

д)

Это уравнение является уравнением окружности, центр которой имеет координаты , а радиус равен 2.

Задача №6. Дан ромб диагонали которого равны и Найдите множество всех точек для каждой из которых

Решение: 1) Введем прямоугольную систему координат так, чтобы диагонали ромба лежали на осях координат.