Метод координат в школьном курсе геометрии

3) Найдем по формуле нахождения расстояния между двумя точками:

=>

что и требовалось доказать.

(умение находить расстоя

ние между двумя точками, заданными координатами).

4) Докажем обратное утверждение: если диагонали трапеции равны, то трапеция – равнобедреннная.

Пусть в трапеции с основаниями диагонали равны: и пусть

Введем прямоугольную систему координат так, чтобы основание лежало на оси абсцисс; точка середина

(умение оптимально выбирать систему координат).

Тогда вершины имеют координаты: а вершины

причем высота трапеции.

(умение определять координаты заданных точек).

5) По условию т.е

=>

Разложим на множители:

Так как первый сомножитель положительный =>

(умение переводить задачу с геометрического на аналитический язык; умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами; умение выполнять алгебраические преобразования).

6) Найдем по формуле нахождения расстояния между двумя точками, заданными координатами, используя координаты

; => => трапеция равнобедренная

что и требовалось доказать.

Задача №4. Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником.

Решение: Пусть в параллелограмме ABCD диагонали равны: и пусть

1) Введем прямоугольную систему

координат с началом в точке

(умение оптимально выбирать систему координат)

2) Тогда вершины параллелограмма имеют следующие координаты:

где b,c – некоторые числа.

(умение определять координаты заданных точек)

3) Найдем AC и BD по формуле нахождения расстояния между двумя точками:

(умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами)

4) Так как по условию =>

Запишем данное условие в координатах:

(умение переводить задачу с геометрического на аналитический язык; умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами)

5) Раскрывая скобки, получаем а так как

(умение выполнять алгебраические преобразования)

Итак, вершина B имеет координаты т.е. вершина B лежит на оси ординат => параллелограмм ABCD – прямоугольник.

2.3 Умения, необходимые для решения задач методом координат

Проанализировав решения нескольких задач, мы можем выделить умения, которыми должны обладать учащиеся, чтобы применять метод координат для решения задач.

Итак, компонентами умения применять координатный метод в конкретных ситуациях являются следующие умения:

1) умение оптимально выбирать систему координат

2) умение определять координаты заданных точек

3) умение строить точку по заданным координатам

4) умение переводить задачу с геометрического на аналитический язык и наоборот

5) умение вычислять расстояние между двумя точками, заданными координатами

6) умение определять координаты середины отрезка

7) умение выполнять преобразования алгебраических выражений (раскрытие скобок, выделение полного квадрата)

8) умение составлять уравнения заданных фигур

9) умение видеть за уравнением конкретный геометрический образ.

Так же можно выделить некоторые формулы, которые должны знать учащиеся, чтобы решать задачи с помощью метода координат: