Метод координат в школьном курсе геометрии

История возникновения координат на плоскости

История возникновения координат и системы координат начинается очень давно. Первоначально идея метода координат возникла еще в древнем мире в связи с потребностями астрономии, географии, живописи. Древнегреческого ученого Анаксимандра Милетского считают составителем первой географической карты. Он четко описывал широту и долготу места, используя

прямоугольные проекции.

Более чем за 100 лет до н.э греческий ученый Гиппарх предложил опаясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести теперь хорошо известные географические координаты: широту и долготу и обозначить их числами.

Идея изображать числа в виде точек, а точкам давать числовые обозначения зародилась в далекой древности. Первоначальное применение координат связано с астрономией и географией, с потребностью определять положение светил на небе и определенных пунктов на поверхности Земли, при составлении календаря, звездных и географических карт. Следы применения идеи прямоугольных координат в виде квадратной сетки (палетки) изображены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта.

Основная заслуга в создании современного метода координат принадлежит французскому математику Рене Декарту. До наших времен дошла такая история, которая подтолкнула его к открытию. Занимая в театре места, согласно купленным билетам, мы даже не подозреваем, кто и когда предложил ставший обычным в нашей жизни метод нумерации кресел по рядам и местам. Оказывается, эта идея осенила знаменитого философа, математика и естествоиспытателя Рене Декарта (1595-1650) – того самого, чьим именем названы прямоугольные координаты. Посещая парижские театры, он не уставал удивляться путанице, перебранкам, а подчас и вызовам на дуэль, вызываемыми отсутствием элементарного порядка распределения публики в зрительном зале. Предложенная им система нумерации, в которой каждое место получало номер ряда и порядковый номер от края, сразу сняла все поводы для раздоров и произвела настоящий фурор в парижском высшем обществе.

Научное описание прямоугольной системы координат Рене Декарт впервые сделал в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также – Декартова система координат. Кроме того, в своей работе «Геометрия» (1637), открывшей взаимопроникновение алгебры и геометрии, Декарт ввел впервые понятия переменной величины и функции. «Геометрия» оказала огромное влияние на развитие математики. В декартовой системе координат получили реальное истолкование отрицательные числа.

Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости. Координатный метод для трехмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в 18 веке.

Суть метода координат

Суть метода координат заключается в следующем:

задав на плоскости систему координат, мы каждую точку плоскости можем охарактеризовать парой действительных чисел, ее координатами, а геометрические фигуры задавать аналитическими условиями ( уравнением, неравенством, системой уравнений или неравенств). Это позволяет переводить геометрические задачи на алгебраический язык.

Основным понятием в школьном курсе геометрии является формирование понятия уравнения фигуры на плоскости.

Под уравнением фигуры на плоскости относительно заданной системы координат понимают уравнение с двумя переменными x и y, которые удовлетворяют двум условиям:

1) координаты любой точки, принадлежащей данной фигуре, уравнению удовлетворяют

2) координаты любой точки, не принадлежащей фигуре, уравнению не удовлетворяют.

Для примера выведем уравнение окружности радиуса с центром в заданной прямоугольной системе координат.

Пусть точка имеет координаты . Расстояние от произвольной точки до точки вычисляется по формуле:

.

Если точка лежит на данной окружности, то или т.е. координаты точки удовлетворяют уравнению

Если же точка не лежит на данной окружности, то и, значит, координаты точки не удовлетворяют данному уравнению. Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид:

При изучении фигур методом координат Атанасян в своем учебнике выделяет две задачи:

1) по геометрическим свойствам данной фигуры найти ее уравнение

2) обратная задача: по заданному уравнению фигуры исследовать ее геометрические свойства.

Задачи на отыскание множества точек плоскости реализуют обе цели изучения метода координат, которые предлагает автор.

В школьном курсе метод координат дает возможность строить доказательства и решать задачи более рационально, чем исключительно геометрическими способами. При решении задач методом координат может возникнуть одна геометрическая сложность. Одну и ту же задачу можно аналитически по-разному представить в зависимости от выбора системы координат. Выбрать более подходящую систему координат позволит лишь достаточный опыт.

Этапы решения задач методом координат

Чтобы решать задачи как и первого, так и второго типа методом координат, необходимо выполнение определенного алгоритма, состоящего из трех этапов.

Алгоритм решения задач 1 типа (задач на составление уравнения данной фигуры)

1. Выявление характеристического свойства данной фигуры, т.е. такого ее геометрического свойства, которым обладают те и только те точки плоскости, которые фигуре принадлежат.

2. Выбор на плоскости прямоугольной системы координат.

3. Запись характеристического свойства фигуры на языке координат.

Алгоритм решения задач 2 типа (геометрические задачи, решаемые аналитическим методом)

1. Перевод задачи на аналитический язык.