Метод координат в школьном курсе геометрии

Большую роль в развитии геометрии сыграло применение алгебры к изучению свойств геометрических фигур, разросшееся в самостоятельную науку – аналитическую геометрию. Возникновение аналитической геометрии связано с открытием метода координат, являющегося основным ее методом.

Характерной особенностью метода координат является определение геометрических фигур аналитическими условиями, что поз

воляет производить геометрические исследования и решать геометрические задачи средствами алгебры.

Метод координат переносит в геометрию важную особенность алгебры – единообразие способов решения задач.

Главную ценность метода координат составляет перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач. Еще одно достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций.

Выделим следующие цели изучения метода координат в школьном курсе геометрии:

1) развить умение применять алгебраический аппарат при решении геометрических задач, на основе этого показать тесную связь алгебры и геометрии

2) развивать вычислительную и графическую культуру учащихся

3) показать учащимся эффективный способ решения задач и доказательства теорем.

Изучение метода координат и обучение его применению в школе делится на несколько этапов.

В 5-6 классах вводится основной понятийный аппарат. На первом этапе учащиеся знакомятся с координатным лучом ( при изучении отрицательных чисел дополняется до координатной прямой, после введения рациональных чисел – о координатной плоскости ).

На втором этапе учащимся даются уравнения прямой и окружности. Эти понятия изучаются и в алгебре, и в геометрии, но с разной содержательной целью, поэтому ученики еще не видят связи между ними.

В курсе алгебры 7 класса путем построения ряда точек, координаты которых вычисляются по аналитическому заданию функции, вводятся графики основных функций. В геометрии – уравнения прямой и окружности вводятся на основе геометрических свойств.

В курсе геометрии 9 класса учащиеся начинают применять сам метод координат для решения задач.

При решении задач координатным методом необходим навык алгебраических вычислений и не нужна высокая степень сообразительности, а это в свою очередь положительно сказывается на результате. Поэтому необходимо изучать метод координат, позволяющий учащимся научиться решать разнообразные задачи координатным методом. Этим и определяется актуальность выбранной темы «Метод координат в школьном курсе геометрии».

Область исследования – школьный курс геометрии.

Объект исследования – методика изучения метода координат.

Предмет исследования – процесс изучения метода координат.

Проблема исследования - разработка методики решения задач методом координат

Методы исследования – изучение литературы, сравнение, обобщение, аналогия, анализ и классификация информации

Цель исследования – показать эффективность метода координат при решении задач, разработать методику использования метода координат.

Цель исследования определяют следующие задачи:

1. Анализ вариантов изучения метода координат в разных учебниках, а также содержание программы по математике по данной теме.

2. Описание метода координат и способов его применения на примерах конкретных задач.

3. Выделение умений, необходимых для успешного овладения методом координат; подбор задач, формирующих данные умения.

4. Разработка контрольной работы по теме «Метод координат» для 9 класса.

5. Составление пробных конспектов уроков по темам: «Координаты вектора», «Уравнение прямой».

Анализ школьных учебников

В школьном курсе геометрии присутствуют различные методы решения задач и доказательства теорем, такие как векторный метод, метод геометрических преобразований, метод координат. Все эти методы тесно связаны. В разных учебниках тот или иной метод может быть доминирующим. Например, в учебнике Погорелова А.В. «Геометрия для 7-11 классов средней школы» метод координат не является доминирующим.

В школьной программе по математике методу координат уделяется мало внимания. Программа не подразумевает изучение метода координат как метода решения задач и ставит целью умение использовать координаты для решения несложных задач, а не умение применять метод координат для доказательства теорем и решения нестандартных и довольно сложных задач.

По программе по математике для средней общеобразовательной школы координаты появляются в 5 классе. Учащиеся знакомятся с координатами точки и изображением числа на прямой. В разных учебниках эти понятия вводятся по-разному. В учебнике по математике для 5 класса средней школы Виленкина в первой главе рассматривается координатный луч, затем, с его помощью, сравниваются натуральные и дробные числа. С понятием координатной прямой Виленкин знакомит учащихся в 6 классе. А вот в учебнике Дорофеева для 5 класса определение «координатный луч» не используется. Автор в начале 5 класса вводит понятие координатной прямой, еще до изучения отрицательных чисел, но учащиеся работают только с правой частью координатной прямой, которая и представляет собой координатный луч. В этом случае у учащихся могут возникнуть вопросы о другой части этой координатной прямой, что не совсем удобно. Так, в учебниках Виленкина содержится больше заданий, связанных с определением координатного луча, координатной прямой. Так же автор чаще обращается к координатному лучу для введения других понятий, чем Дорофеев.

В программе по математике для средней школы в геометрии координаты изучаются в следующем объеме: координатная плоскость, формула расстояния между двумя точками плоскости, уравнение прямой и окружности.

В учебнике Погорелова «Геометрия для 7-11 классов средней школы» координаты занимают одно из основных мест. Они вводятся в 8 классе. Здесь, после рассмотрения основных понятий изучаются такие вопросы, как пересечение двух окружностей, пересечение прямой и окружности, определение синуса, косинуса и тангенса любого угла. Это первые приложения метода координат, с которыми ученики знакомятся в школе. На изучение данной темы в этом учебнике отводится 19 часов.

В учебнике Атанасяна «Геометрия для 7-9 классов средней школы» метод координат выделен в отдельную главу. В ней изучаются координаты вектора, уравнение прямой и окружности, решаются простейшие задачи в координатах. В этом учебнике метод координат дается как метод изучения геометрических фигур с помощью средств алгебры. Целью автора является не только обучение школьников применять метод координат к задачам на построение фигур по их уравнению, но и к задачам на доказательство и для вывода геометрических формул. На изучение данной темы в этом учебнике отводится 18 часов.

В учебнике Шарыгина «Геометрия 7-9 кл» уделяется больше внимания методам решения геометрических задач по сравнению с традиционными учебниками. Метод координат – предпоследняя тема 9 класса. При изучении этой темы ученики знакомятся с декартовыми координатами на плоскости, рассматривают уравнения прямой и окружности. Отметим, что в этом учебнике небольшой теоретический материал по данной теме. В отличие от учебников Атанасяна и Погорелова, формула середины отрезка у Шарыгина не рассматривается. Шарыгин не дает как такового понятия фигуры, но рассматривает уравнения «плоских линий», которые нужны для решения задач. После изучения векторов рассматривается параграф «Координатный метод». Учащимся предлагается ряд задач на данную тему. Так же приведено два примера, в одном из которых рассматривается окружность Аполлония, а в другом обращается внимание на выбор системы координат. Это довольно сложные задачи, которые в основном связаны с нахождением геометрического места точек.