Метод координат в школьном курсе геометрии

2. Преобразование аналитического выражения.

3. Определение по виду уравнения вид фигуры.

Два вида задач, решаемых методом координат

В учебнике Атанасяна при изучении метода координат выделяется 2 основных типа задач:

1) Задачи на отыскание множества точек плоскости, удовлетворяющих заданному условию.

2) Геометрические задачи, решаемые аналитическим методом.

Для разработк

и методики формирования умения применять координатный метод важно выявить требования, которые предъявляет логическая структура решения задач мышлению решающего. Координатный метод предусматривает наличие у обучающихся умений и навыков, способствующих применению данного метода на практике. Проанализируем решения некоторых задач. В процессе этого анализа выделим умения, являющиеся компонентами умения использовать координатный метод при решении задач. Знание компонентов этого умения позволит осуществить его поэлементное формирование.

Задачи, относящиеся к 1 типу.

Задача 1. Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых .

Решение:

1) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке О(0;0) так, чтобы она была серединой отрезка (умение оптимально выбирать систему координат)

2) Тогда точки A и B имеют следующие координаты , (умение определять координаты заданных точек)

3) Для произвольной точки имеем:

(умение находить расстояние между двумя точками)

4) Если точка принадлежит искомому множеству, то

.

Запишем это условие в координатах:

(умение переводить геометрическую задачу на аналитический язык)

5) Раскрыв скобки, получаем .

(умение выполнять алгебраические преобразования)

6) Таким образом, искомое множество – прямая, параллельная оси . (эта прямая перпендикулярна к прямой и пересекает продолжение луча в точке , причем (умение видеть за уравнением конкретный геометрический образ).

Задача №2. Даны две точки Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки в два раза больше расстояния от точки B.

Решение: 1) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A.

(умение оптимально выбирать систему координат)

2) Тогда точки A и B имеют следующие

координаты:

(умение определять координаты заданных точек).

3) Найдем расстояние от произвольной точки до точек

(умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами)

4) Если точка M принадлежит искомому множеству, то или Поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению:

(умение выполнять алгебраические преобразования)

Если точка M не принадлежит искомому множеству, то ее координаты не удовлетворяют этому уравнению => уравнение и есть уравнение искомого множества точек в выбранной системе координат.

Раскрываем скобки, группируем слагаемые, получаем:

(умение выполнять алгебраические преобразования)

Это уравнение является уравнением окружности радиуса с центром в точке с центром в точке

(умение видеть за уравнением конкретный геометрический образ).

5) Аналогично можно доказать, что множеством всех точек M, удовлетворяющих условию где k – данное положительное число, не равное единице, является окружность радиуса с центром в точке

Это окружности, соответствующие различным значениям называют окружностями Аполлония (т.к. они рассматривались древнегреческим математиком Аполлонием в его трактате «О кругах» во 2 веке до н.э.)

Если то задача сводится к задаче о нахождении множества всех точек, равноудаленных от точек Таким множеством является серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Задача №3. Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых: где k – данное число.

Решение:

1) Пусть AB=2a, O – середина отрезка AB.

(умение оптимально выбирать систему координат)

2) Тогда точки имеют следующие координаты: A(-a;0), B(a;0). (умение определять координаты заданных точек).

3) Для произвольной точки M(x,y) имеем:

(умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами).

4) Запишем заданное условие в координатах.