Метод координат в школьном курсе геометрии

(умение оптимально выбирать систему координат)

2) В данной систему координат вершины ромба будут

иметь следующие координаты:

(умение определять координаты заданных точек)

3) Пусть произвольная точка.

Найдем расстояния от этой точки до каждой вершины ромба.

(умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами)

4) Запишем условие в координатах:

( умение переводить задачу с геометрического на аналитический язык)

Раскрывая скобки, получаем:

( умение выполнять алгебраические преобразования)

Это уравнение прямой, проходящей через начало координат, т.е. через точку пересечения диагоналей ромба.

( умение видеть за уравнением конкретный геометрический образ)

Задачи, относящиеся ко 2 типу.

Задача №1. Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а высота, проведенная к большей стороне, равна 15 см. Найдите медианы треугольника.

Решение: Пусть в .

1) Введем прямоугольную систему координат (возможны 2 случая расположения):

( умение оптимально выбирать систему координат )

2) Тогда вершины имеют следующие координаты:

( умение определять координаты заданных точек )

а) если точка

б) лежит на продолжении

3) Используя формулу расстояния между двумя точками, получаем:

Таким образом, точка имеет координаты:

а) (8;15); б) (-8;15)

(умение находить расстояние между двумя точками; умение выполнять алгебраические преобразования)

4) Пусть точки – середины сторон

В случае а) получаем:

В случае б):

( умение находить координаты середины отрезка)

5) Найдем медианы по формуле расстояния между двумя точками:

В случае а):

В случае б):

(умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами; умение выполнять алгебраические преобразования).

Задача №2. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы.

Решение. Пусть в

1) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке (умение оптимально выбирать систему координат)

2) Тогда вершины имеют следующие координаты:

(умение определять координаты заданных точек).

3) Обозначим середины сторон через Найдем их координаты.

(умение находить координаты середины отрезка)

4) Найдем медианы по формуле нахождения расстояния между двумя точками:

(умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами)

Задача №3. Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Решение: Пусть

1) Введем прямоугольную систему координат так, чтобы основание лежало на оси абсцисс; точка середина Тогда делит пополам.

(умение оптимально выбирать систему координат)

2) Тогда вершины трапеции имеют следующие

координаты:

(умение определять координаты заданных точек).