Развитие логического мышления одаренных учащихся на уроках геометрии в 7-9 классов

Рефераты / Педагогика / Развитие логического мышления одаренных учащихся на уроках геометрии в 7-9 классов

1. Точка С лежит на отрезке АВ. Постройте точку D прямой АВ, не лежащую на отрезке АВ, так, чтобы . Всегда ли задача имеет решение?

Рисунок 4

Пусть АС>CB. Отметим точку М, не лежащую на прямой АВ, и на луче АМ отложим отрезок АС1, ра

вный АС, а затем на луче С1А отложим отрезок С1В1, равный СВ. Проведем через точку С1 прямую, параллельную прямой В1В. Она пересекает прямую АВ в искомой точке D.

Действительно, так как С1DB1B, то . Отсюда, используя свойство пропорций, получаем:

Но С1В1 =СВ, АС1=АС (по построению), поэтому

откуда .

Тем самым доказано, что точка D – искомая.

Если АС<СВ, то построение искомой точки D проводится таким же образом, как и в случае АС>CB, но только теперь точка А будет лежать между С1 и В1.

Наконец, если АС=СВ, то =1, а для любой точки D прямой АВ, не лежащей на отрезке АВ, Таким образом, В этом случае построение точки D невозможно.

Решая задачи такого типа, одаренные подростки перейдут на следующий уровень развития логического мышления, то есть на уровень частичной логической организации изученного материала, понимание отдельных его взаимосвязей.

Чтобы перевести учащихся на уровень логически организованных знаний, рассмотрим следующие задачи.

2. Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму произвольного выпуклого четырехугольника, можно сделать паркет, полностью покрывающую любую часть плоскости.

Данная задача имеет практическое значение, что прибавит интерес к ее решению. Для доказательства данной задачи учащимся 8 класса необходима хорошая подготовка по таким темам, как четырехугольники, параллельность прямых и другие. Также для решения данной задачи необходима смекалка и гибкость ума, чтобы прийти непосредственно к ходу решения.

Пусть плитка имеет форму выпуклого четырехугольника ABCD. Через вершины А и С проведем прямую а, а через вершины В и D – b и с, параллельные прямой а.

Рисунок 5

Затем проведем прямые d и e, параллельные прямой а так, что расстояние между b и d равно расстоянию а и с (обозначим его r1), а расстояние между прямыми с и е равно расстоянию между прямыми а и b (обозначим его r2). Продолжая этот процесс неограниченно, мы разобьем всю плоскость на полосы, причем ширина полос (расстояние между соседними параллельными прямыми) принимает попеременно значения r1 и r2.

Разобьем полосу, заключенную между прямыми а и b, на треугольники, равные , так, как показано на рисунке, а полосу между прямыми а и с – на треугольники, равные . То же самое и с другими полосами.

В результате все плоскость можно представить разбитой на четырехугольники, причем каждый из них равен четырехугольнику ABCD. Стороны этих четырехугольников соответственно равны, и также углы соответственно равны.

Отсюда следует, что эти четырехугольники можно совместить наложением, а это означает, что они равны.

Таким образом, любую часть плоскости можно покрыть паркетом из одинаковых плиток, равных четырехугольнику ABCD.

3. Докажите, что основания перпендикуляров, проведенных из произвольной окружности, описанной около треугольника, к прямым, содержащим стороны этого треугольника, лежат на одной прямой (прямая Симпсона).

Рисунок 6

Путь D – произвольная точка окружности, описанной около данного треугольника. Обозначим вершины треугольника буквами А, В и С, так, чтобы получился четырехугольник ABCD. В этом четырехугольнике , поэтому либо , и тогда прямой Симпсона будет прямая АС, либо один из этих углов острый, а другой тупой. Для определенности будем считать, что – острый. Рассмотрим два случая: 1) а значит, и равные ему угол ABD – острые; 2) Указанные углы – тупые. В первом случае основание Н перпендикуляра, проведенного из точки D к прямой АВ, лежит между А и В, основание К перпендикуляра к АС лежит между А и С, а основание М перпендикуляра BC – вне отрезка ВС.

Решая аналогичные задачи, мы переведем одаренных учащихся 8 класса на последний уровень логически организованных знаний. Так как мы работаем с одаренными учащимися, были подобраны задачи повышенной трудности.

Чтобы перевести одаренных учащихся 9 класса на уроках геометрии с уровня фрагментарных знаний, отсутствия осознания взаимосвязей между компонентами системы на уровень частичной логической организации изученного материала, понимание отдельных его взаимосвязей необходимо решать следующие задачи.

1. В каждом из следующих случаях на оси абсцисс найдите точку М, для которой сумма ее расстояний от точки А и В имеют наименьшее значение: а) А(2;3), В(4:–5); б) А(–2;4), В(3;1).

В этой задаче учащимся 9 класса необходимо рассмотреть два случая:

Рисунок 7

а) искомая точка лежит на пересечении прямой АВ с осью Х. Если бы точка М не лежала на этой прямой, то получился бы треугольник АВМ. А из неравенства треугольника АВ<AM+BM.

Таким образом, найдем уравнение прямой АВ: