Развитие логического мышления одаренных учащихся на уроках геометрии в 7-9 классов

Уровни развития логического мышления

Для решения задач развития логического мышления не требуется включения в курс дополнительного математического материала. Задачи развития логического мышления можно ставить и решать на обычном учебном материале.

Е.П. Коляда выделяет четыре уровня развития логического мышления учащихся: продвинутый (90-100% правильно выполненных заданий); высокий (70-9

0%); базовый (50-70%); ниже базового (менее 50% правильно выполненных заданий). Качественно эти уровни характеризуются следующим:

– ниже базового – частые логические ошибки, которые ученик не может исправить самостоятельно, серьезные затруднения в применении логических операций;

– базовый – немногочисленные логические ошибки в заданиях, самостоятельно исправляемые учеником, владение логическими операциями с опорой на наглядность;

– высокий – практическое отсутствие ошибок в заданиях, владение логическими операциями с частичной опорой на наглядность;

– продвинутый – интериоризация логических операций и их переход в логические приемы мышления.

В системе работы учителя по развитию логического мышления учащихся могут иметь место различные уровни.

1. Отсутствие специально организованной учителем работы по развитию логического мышления. Организационным фактором, направляющим в этом случае процесс развитии, является усваиваемое содержание предмета.

2. Организация деятельности учащихся по осознанию логической составляющей изучаемого содержания с помощью специально подобранных упражнений.

3. Организация специального обучения учащихся усвоению приемов логического мышления в явном виде с выделением их операционных составляющих. Такими приемами могут быть: доказательство методом от противного, подведение под определение, подведение под понятие и многое другое.

Соответственно уровням организации деятельности учащихся происходит усвоение материала на различных уровнях систематизации его в зависимости от осознания логических взаимосвязей в этом материале.

1. Уровень фрагментарных знаний, отсутствие осознания взаимосвязей между компонентами системы.

2. Уровень частичной логической организации изученного материала, понимание отдельных его взаимосвязей.

3. Уровень логично организованных знаний.

Последний уровень характеризуется пониманием целостности системы знаний, пониманием места отдельных элементов системы знаний в этой системе, то есть систематизацией изученного материала.

Приведем примеры упражнений, направленных на выделение логической составляющей изучаемого материала в соответствии со вторым уровнем организации деятельности учащихся.

Пример. При изучении равнобедренного и равностороннего треугольника наряду с другими заданиями можно предложить учащимся следующие вопросы:

– Верно, ли сформулировано определение: треугольник, у которого две стороны равны и два угла равные, называется равнобедренным?

– Верно ли, что все треугольники являются равнобедренными или равносторонними?

– Верно ли, что каждый равносторонний треугольник является равнобедренным, некоторые равнобедренные треугольники являются равносторонними?

– Какими могут быть неравносторонние треугольники?

– Верно, ли сформулировано предложение: биссектриса угла равнобедренного треугольника является его медианой и высотой?

В качестве примера приема в рамках третьего из выделенных ранее уровней рассмотрим прием по распознаванию признаков и свойств понятий. Актуальность изучения приема в явном виде диктуется большим количеством ошибок по смешению признаков и свойств понятий. Ошибки допускаются не только начинающими изучать курс геометрии, но и выпускниками школы. И, напротив, понимание терминов свойство и признак понятия позволяет учащимся выяснить место каждой теоремы в системе теорем, систематизировать свои знания по каждому понятию, помогает правильно применять изученные теоремы. Ситуации, в которых используются теоремы, различны: свойства понятий используются, когда есть объект, принадлежащий понятию, признаки – когда необходимо под понятие подвести.

В математике свойства понимаются как необходимые условия существования понятия, признаки – как достаточные или необходимые и достаточные условия существования понятия. В школьном курсе термин признак всегда употребляется как необходимое и достаточное условие.

Ближе всего к школьному пониманию терминов свойство и признак являются следующие определения, на которые можно опереться при разговоре с учащимися. "Свойство – каждая из множества сторон вещи или явления, выявляющаяся во взаимодействии данного предмета с другими". "Признак – показатель, примета, знак, по которым можно узнать, определить что-либо" .

По сути дела свойство понятия, объекта – это все то, что можно сказать об объекте, изучая его. Признаки – это те свойства, условия, по наличию которых объект можно отнести к определенному классу объектов, к понятию.

В качестве примера рассмотрим теорему Пифагора. Теорема описывает прямоугольный треугольник, то есть является свойством прямоугольного треугольника. Аналогично, теорема "Отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия этих многоугольников" описывает имеющиеся подобные многоугольники, то есть является их свойством.

Рассмотрим формулировку теоремы: "Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, является параллелограммом". В этой теореме условие попарного равенства противоположных сторон четырехугольника является приметой, показателем, знаком того, что четырехугольник является параллелограммом.

Условная форма теоремы позволяет определить формально, признаком или свойством некоторого понятия является рассматриваемая теорема. Если понятие находится в условии теоремы ("Если треугольник является прямоугольным, то ."), – теорема выражает свойство этого понятия. Если рассматриваемое понятие находится в заключение теоремы (" ., то данный четырехугольник является параллелограммом"), – теорема является его признаком.

При этом называть теорему признаком или свойством безотносительно к понятию нельзя, т. к. формально каждую теорему можно считать свойством одного понятия и признаком другого. Например, теорема "В подобных треугольниках соответствующие углы равны" является свойством понятия подобные треугольники и признаком равенства углов. Некоторые условия являются как свойствами, так и признаками одного и того же понятия, например, деление диагоналей, пополам в точке их пересечения для параллелограмма.

Как строится теория понятия? Вначале дается формальное определение понятия. Затем из определения получают в качестве его следствий различные свойства понятия. Затем строят обратные предложения к отдельным свойствам и проверяют их истинность. Так получают признаки. Часто для получения признаков используют не одно, а несколько свойств.

Развитие логического мышления одаренных учащихся на уроках геометрии в 7-9 классов: практические аспекты

Какова же роль геометрических задач для одаренных подростков 7-9 классов? На этот вопрос можно ответить следующим образом.