Развитие логического мышления одаренных учащихся на уроках геометрии в 7-9 классов

Чтобы перевести одаренных учащихся 7 класса на уроках геометрии с уровня фрагментарных знаний, отсутствия осознания взаимосвязей между компонентами системы на уровень частичной логической организации изученного материала, понимание отдельных его взаимосвязей необходимо решать следующие задачи.

1. Пусть а – число, выражающее длину отрезка АВ при единице измерения CD, а b – число, выражающее

длину отрезка CD при единице измерения АВ. Как связаны между собой эти числа?

Для решения данной задачи учащиеся должны иметь знания по теме по пропорциональные отрезки, а также найти взаимосвязь между компонентами задачи.

Из условия получаем, что АВ=а∙CD, а CD =b∙АВ.

Следовательно, , b=а∙b=; а=.

2. Даны шесть попарно пересекающихся прямых. Известно, что через точку пересечения любых двух прямых проходит, по крайней мере, еще одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через эту точку.

Для доказательства данной задачи учащимся необходимы в знания по теме пересекающиеся прямые, а также известен метод от противного.

Рисунок 1

Из условия известно, что можно разбить наши шесть прямых на две тройки. Пусть прямые 1, 2 и 3 пересекаются в точке О1, а прямые 4, 5 и 6 в точке О2, а прямые 6 и 1 пересекаются в точки О3. По условию через точку О3 должна проходить ещё хотя бы одна прямая, кроме прямых 6 и 1, это возможно только если все три точки О1, О2 и О3 совпадают.

Предположим противное, тогда через точку О3 проходит хотя бы одна из прямых 2, 3, 4 или 5, что невозможно, поскольку через две точки О1 и О2 или О2 и О3 на плоскости можно провести только одну прямую, или какие-то прямые совпадают, что противоречит условию, значит, наше предположение не верно, и все шесть прямых проходят через одну точку.

Решая задачи такого типа, одаренные подростки перейдут на следующий уровень развития логического мышления, то есть на уровень частичной логической организации изученного материала, понимание отдельных его взаимосвязей.

Чтобы перевести учащихся на уровень логически организованных знаний, рассмотрим следующие задачи.

3. Точки С1 и С2 лежат по разные стороны от прямой АB и расположены так, что АС1 = BC2 и ∠BAC1 = ∠ABC2. Докажите, что прямая С1С2 проходит через середину отрезка АB.

Доказательство. Для решения данной прямой учащимся необходимы знания по теме углы при параллельных прямых, а также понять взаимосвязь между компонентами задачи.

Делаем предположение, что прямые параллельны. Рассмотрим прямые АС1 и BC2, и секущую на прямую АB, так как накрестлежащие углы ∠BAC1 = ∠ABC2 по условию, получим, что АС1BC2.

Рисунок 2

∠АС1С2 = ∠ВС2С1 как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых АС1 и ВС2 секущей С1С2. Пусть точка О – точка пересечения прямых АВ и С1С2. АС1О = ВС2О по стороне и двум углам (∠ОАС1 = ∠ОВС2, ∠АС1О = ∠ВС2О, АС1 = ВС2), в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, то есть АО = ОВ. Что и требовалось доказать.

4. В треугольнике АВС высота АА1 не меньше стороны ВС, а высота ВВ1 не меньше стороны АС. Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный и прямоугольный.

Для решения задачи необходимы знания темам высота треугольника, равнобедренный и прямоугольный треугольники, а также понять взаимосвязи между компонентами задачи.

Рассмотрим прямоугольный 1 с прямым углом ВВ1С (так как ВВ1 – высота следовательно ВВ1 перпендикулярна АС).

Рисунок 3

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета, то есть ВСВВ1, учитывая, что по условию АА1ВС, получаем АА1ВС. Рассмотрим прямоугольный 1 с прямым углом АА1С, (так как АА1–высота , следовательно, АА1 перпендикулярна к ВС).В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета, то есть АСАА1, учитывая, что по условию ВВ1, получаем ВВ1АА1, по доказанному АА1ВС, следовательно, АА1=ВВ1.

ВВ1= АА1ВС, следовательно, ВС=ВВ1 и 1 равнобедренный, а углы при основании равнобедренного треугольника равны, следовательно, ∠ВСВ1=∠ВВ1С=90ᵒ, тогда

следовательно, ВВ1 совпадает с ВС. АА1=ВВ1АА1, следовательно, АС=АА1 и 1 равнобедренный, а углы при основании равнобедренного треугольника равны, следовательно,

Тогда

следовательно, АА1 совпадает с АС.

По доказанному следует, что АС=АА1=ВВ1=ВС и АС перпендикулярна ВС, следовательно, равнобедренный и прямоугольный, что и требовалось доказать.

Решая аналогичные задачи, мы переведем одаренных учащихся на последний уровень логически организованных знаний. Так как мы работаем с одаренными учащимися, были подобраны задачи повышенной трудности.

Чтобы перевести одаренных учащихся 8 класса на уроках геометрии с уровня фрагментарных знаний, отсутствия осознания взаимосвязей между компонентами системы на уровень частичной логической организации изученного материала, понимание отдельных его взаимосвязей необходимо решать следующие задачи.