Теория нумераций

<

img width=19 height=22 src="images/referats/3088/image468.png">

коммутативны, вытекает из того, что и – факторизации. Из единственности таких морфизмов вытекает, что , . Таким образом, – эквивалентность категории . Для проверки коммутативности большой диаграммы достаточно показать только, что . Обозначая , получим . Но так как – факторизация, то может существовать только один морфизм такой, что ; поэтому .

Предложение 2 и показывает нужную «единственность» канонического представления. Впредь под каноническим представлением морфизма будем понимать всякое представление его в виде , где – факторизация, а – мономорфизм.

Для того чтобы понять, что факторизация может быть определена в чисто теоретико – категорных терминах (для этого достаточно такое определение для ), определим объект 1 категории как множество {0}, снабженное единственно возможной нумерацией. Укажем следующие простые свойства:

1. Для любого нумерованного множества = (, ) существует естественное взаимно однозначное соответствие между множеством и множеством Mor ().

Это соответствие задается отображением множества Mor () в .

2. Если , а Mor (, то .

Легко проверяется.

3. Если , , то .

Если и – нумерованные множества и существует эквивалентность , то и назовем эквивалентными и будем обозначать это так . Отметим, например, что все одноэлементные нумерованные множества эквивалентны .

Если , – два морфизма, то назовем (и () эквивалентными над (менее точно назовем и эквивалентными над ), если существует эквивалентность такая, что диаграмма

коммутативна.

Фактор – объектом назовем класс Ф всех пар (, , эквивалентных некоторой паре вида (, где – факторизация. Иногда будем использовать менее точную терминологию, называя фактор – объектом пару (, где – факторизация, или даже просто нумерованное множество . Заметим, что в каждом классе пар Ф, являющихся фактор – объектом, существует канонический представитель, а именно, если (, то и (, где – факторизация из канонического представления . Пара такого вида (в каждом фактор – объекте существует и единственна. Отсюда следует, что у каждого нумерованного множества существует не более континуума различных фактор – объектов. Обозначим множество всех фактор – объектов через ; если в этом множестве ввести отношение частичного порядка, полагая для для (, (существует морфизм такой, что диаграмма

 Скачать реферат