Теория нумераций

th=56 height=63 src="images/referats/3088/image639.png">

Определим отображение так: для , для . Тогда, очевидно,, и если отображение таково, что , то . Отсюда следует единственность такого . Остается заметить, что – морфизм. Пусть таковы, что . Тогда для , где , имеем , следовательно, – морфизм. Таким образом, () – прямая сумма. Если , то найдем множество и отображение такие, что , – взаимно однозначное соответствие между . Пусть (, , где . По доказанному выше, для и существует прямая сумма (). Тогда () есть, как нетрудно проверить, прямая сумма .□

Прямым произведением двух объектов категории называется объект и два морфизма и такие, что для любых морфизмов , где – произвольный объект категории, существует единственный морфизм такой, что и . Обозначать прямое произведение будем так: () или (). Тот единственный морфизм , существование которого (для данных и ) утверждается в определении, будем обозначать .

Предложение 4. В категории для любых двух объектов существует их прямое произведение.

Если О или О, то в качестве (с единственными морфизмами в ) можно взять О. Полагаем ; – проекция на первый сомножитель, – проекция на второй сомножитель. определяется так: , или . Легко проверяется, что – нумерация , а и – морфизмы (, – в соответственно. Проверим, что () есть прямое произведение . Пусть = (, ) – произвольное нумерованное множество и , – два морфизма в соответственно. Определим отображение так: для . Для этого отображения имеем . Очевидно, что – единственное отображение , для которого справедливы указанные равенства. Остается заметить, что – морфизм . Пусть таковы, что . Тогда для , где , имеем . Итак, () – прямое произведение □

 Скачать реферат