Теория нумераций

Предложение 1. Категория эквивалентна своей полной подкатегории , определенной семейством объектов {O}.

По определению эквивалентности категорий и означает, что существует два ковариантных функтора и таких, что функторы и эквивалентны тождественным функторам и соответственно. В качестве функтора F возьмем функтор вложения категории как подкатегории . Функтор определим так: ; если = (, ), то , для простоты вместо будем просто писать , где – нумерационная эквивалентность нумерации . Существует естественный морфизм , определенный так: для . Легко проверить, что это определение корректно и что – морфизм. На самом деле является эквивалентностью категории , т.е. существует такой морфизм , что =, а =. Действительно, отображение определим так: . Ясно, что – морфизм, обладающий нужными свойствами. Продолжим определение функтора . Пусть = (, = (, ) и такова, что ; определяем так: для . Это определение корректно, так как если , то , , т.е. . Ясно также, что – морфизм из в . Так определенное отображение является функтором. Для проверки того, что функтор эквивалентен тождественному функтору, нужно построить единственное преобразование такое, что все морфизмы являются эквивалентностями категории . В качестве таких нужно взять построенные выше морфизмы .

Следствие. Категория эквивалентна малой категории, т.е. категории, семейство объектов которой образует множество.

Простая проверка показывает, что для того чтобы морфизм был мономорфизмом (эпиморфизмом) категории , необходимо и достаточно, чтобы отображение , задающее морфизм, было одно – однозначным (отображением на ). Для всякого морфизма oчерез обозначим отношение эквивалентности на , определенное так: . Вместо обозначения будем использовать в этом случае обозначение , а естественный морфизм из в будем обозначать . Определим морфизм такой, чтобы диаграмма

 Скачать реферат