Теория нумераций

Лемма 1. Пусть – произвольные нумерованные множества, отличные от О, () – прямая сумма , () – прямое произведение; тогда существуют т

акие морфизмы , , ,, что , , , .

Пусть – произвольно выбранные элементы. Определим так: для всех ; определим так: для всех . Очевидно, что и – морфизмы. Положим далее и . Равенства и легко проверяются. Определим морфизмы и так:

тогда, очевидно, имеем и .□

Наряду с прямым произведением и прямой суммой в категории существует и расслоенная сумма.

Перейдем к определению этого понятия. Коммутативная диаграмма

называется универсальным квадратом, если для любого объекта и любой пары морфизмов , такой, что , существует единственный морфизм такой, что , . Если приведенная выше диаграмма является универсальным квадратом, то () называется расслоенной суммой над .

Предложение 5. В категории каждая пара морфизмов , вкладывается в подходящий универсальный квадрат.

Если О, то в качестве нужно просто взять прямую сумму . Далее рассматриваем случаи, когда О. Заметим, что тогда и О и О.

Случай 1. Оба морфизма являются факторизациями. Полагаем , – отношение эквивалентности на множестве . Благодаря свойствам факторизаций существуют и притом единственные морфизмы и такие, что диаграмма

коммутативна. Проверим, что эта диаграмма (без ) является универсальным квадратом. Пусть и – такие морфизмы, что ; если , то ясно, что и . Следовательно, и . Поэтому существует единственный морфизм такой, что . Легко проверяется, что тогда , .

 Скачать реферат