Теория нумераций

1) нумерация отделима;

2) предпорядок является частичным порядком;

3) топология отделима.

Категория нумерованных множеств и ее свойства

В предыдущем параграфе изучались нумерац

ии подмножеств некоторого множества и отношение сводимости между нумерациями. Обратимся теперь к «взаимодействию» произвольных нумерованных множеств. Наиболее естественным путем для такого изучения является соответствующей категории – категории нумерованных множеств.

Перейдем к точным определениям. Объектами категории являются все нумерованные множества, включая «пустое» нумерованное множество О. Если – произвольное нумерованное множество, то существует и притом единственный морфизм o из О в . Если = (, ) и = (, ) – произвольные не пустые нумерованные множества, то морфизмом из в назовем всякое отображение , для которого существует функция такая, что , иными словами, если диаграмма

f

N N

коммутативна. То, что – морфизм из в , будет обозначаться так: . Множество всех морфизмов из в обозначим через Mor (). Композиция морфизмов определяется естественным образом. Объект О является нулевым объектом категории .

Отметим следующие простые свойства морфизмов.

1. Если = (, ) и = (, ), – – вполне перечислимое множество, а – морфизм из в , то – – вполне перечислимое подмножество .

Действительно, пусть такова, что . Тогда . Таким образом, f m – сводит к рекурсивно перечислимому множеству , следовательно, будет – вполне перечислимым.

2. Если – морфизм из = (, ) в = (, ), то сохраняет предпорядки, определенные нумерациями, т.е. .

Следует из 1.

3. Если – морфизм из = (, ) в = (, ), то – непрерывное отображение топологического пространства (, ) в топологическое пространство (, ).

Следует из 1.

Еще несколько определений. Через N, будем обозначать нумерованное множество (N, ). Для любого множества через Э () обозначим множество всех отношений эквивалентности на множестве . Это множество относительно естественного отношения включения является полной решеткой; если Э (), то и обозначают точную верхнюю и соответственно нижнюю грань элементов . Для Э (), через обозначим нумерованное множество (– операция – замыкания ([для Э (). Более общо, если = (, ) – нумерованное множество, Э (, то – это нумерованное множество (); отображение является, очевидно, морфизмом из в .

 Скачать реферат