Теория нумераций

Рефераты / Математика / Теория нумераций

width=9 height=22 src="images/referats/3088/image474.png">

коммутативна, то <изоморфно полной решетке < Э (. Это легко следует из рассмотрения канонических представителей в каждом фактор – объекте.

Заметим, что (используя неточную терминологию) любое нумерованное множество О есть фактор – объект . Действительно, если = (, ), то, как легко проверить, морфизм есть факторизация.

Замечание. Данное здесь определение фактор – объекта является не совсем обычным, так как в теории категорий фактор – объектом (в неточной терминологии) называют всякий эпиморфный образ. Здесь же мы ограничились образами факторизаций.

Подобъектом назовем всякую пару (), где – мономорфизм. (Более точное определение: подобъектом назовем класс Ф всех таких пар (), что () и () эквивалентны в ; последнее означает существование эквивалентности такой, что .) Если – мономорфизм и эпиморфизм одновременно, то () назовем плотным подобъектом .

Каноническое представление морфизма показывает, что всякий эпиоморфный образ имеет плотный подобъект, который есть фактор – объект .

Отметим еще, что морфизм является эквивалентностью в тогда и только тогда, когда он является факторизацией и мономорфизмом.

Обратимся теперь к вопросам полноты категории , т.е. к вопросам замкнутости относительно различных категорных конструкций.

Прямой суммой двух объектов и категории называется объект и два морфизма и такие, что для любых морфизмов , где – произвольный объект, существует единственный морфизм такой, что и .

Обозначать прямую сумму будем так: () или (). Тот единственный морфизм , существование которого (для данных и ) утверждается в определении, будем обозначать .

Предложение 3. В категории для любых двух объектов существует их прямая сумма.

Если О, то в качестве (с естественными морфизмами из ) можно взять . Аналогично в случае О. Пусть = (, О и = (, О. рассмотрим сначала случай . Полагаем и так: ; . Тогда (, – нумерованное множество, а тождественные вложения и являются морфизмами в . Покажем, что () есть прямая сумма . Пусть = (, ) – произвольное нумерованное множество и , – два морфизма в .