Модели массвого обслуживания

М — экспоненциальное распределение продолжительностей интервалов между поступлениями требований или длительностей обслуживания (от определяющего слова «марковский») ;

D — детерминированное (или регулярное) распределение длительностей интервалов между поступлениями требований или длительностей обслуживания;

Еп — тг-фазное распределение Эрланга для длительностей интервалов между поступлен

иями требований или длительностей обслуживания. [Ряд авторов используют также символ Кп, обозначая им гамма-распределение (15).]

GI — рекуррентный характер входного потока без каких-либо специальных предположений относительно функции распределения;

G — общий вид распределения длительностей обслуживания (т. е. не делается никаких конкретизирующих предположений относительно функции распределения).

Так, например, для модели с пуассоновским входным потоком, экспоненциальным распределением длительностей обслуживания и единственным обслуживающим прибором символическая запись имеет вид M/M/1. Если бы входной поток был детерминированным, а прочие характеристики модели оставались прежними, символическое представление модели имело бы вид D/M/1; если бы вместо одного обслуживающего прибора только что упомянутая система располагала S приборами, то в обозначениях Кендалла символическое представление модели приняло бы вид D/M/S.

4 Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительностей обслуживания

В большинстве систем массового обслуживания имеется несколько обслуживающих приборов, а дисциплина очереди, как правило, оказывается весьма сложной. Так, например, прежде чем направиться к какому-нибудь контрольно-расчетному прилавку в большом магазине самообслуживания, покупатель вначале посмотрит, сколько человек стоит в каждой очереди и какое количество различных продуктов находится на руках у стоящих. Кроме того, он попытается сообразить, какой из контрольно-расчетных прилавков находится ближе всего к нужному ему выходу, и мысленно отметит, какая из кассирш работает быстрее других. Аналогичными соображениями руководствуется и водитель, выбирающий один из пунктов сбора за проезд по платной автомагистрали с таким расчетом, чтобы затратить на всю процедуру минимальное время. Но иногда действительно имеет место строго соблюдаемая дисциплина «первым пришел —первым обслуживаешься». Такого характера очереди возникают, например, на бензозаправочных станциях, возле касс кинотеатров, в мастерских, где производится срочный ремонт обуви, и т. п.

Как уже отмечалось, построение операционной модели для описания реальной ситуации всегда сопряжено с необходимостью принятия ряда аппроксимирующих предположений. В случае решения задачи массового обслуживания аппроксимации являются неизбежными

независимо от того, какого типа модель при этом используется —математическая, имитационная или комбинированная. Часто удается получить приближенное представление об операционных характеристиках сложной системы путем анализа некоторых «экстремальных» или предельных случаев. Один из таких приближенных методов заключается в следующем: система массового обслуживания, насчитывающая п обслуживающих приборов, рассматривается как «механическое» объединение п одноканальных систем, функционирующих независимо одна от другой. Пусть, например, обслуживающая система состоит из пяти приборов, а интенсивность входного потока равняется 20 человек/ч. Тогда приближенно данную систему можно рассматривать как совокупность пяти автономных систем с одним обслуживающим прибором, каждая из которых характеризуется входным потоком с интенсивностью 4 человек/ч.

Этот метод является приближенным по двум причинам: во-первых, предполагается, что требование может попасть на вход любой из упомянутых одноканальных «подсистем» с одинаковой вероятностью (независимо от того, какова длина соответствующей очереди), и, во-вторых, постулируется, что, попав в одну из очередей, требование должно оставаться именно в этой первоначально выбранной очереди. Ожидаемое количество требований, находящихся во всех автономных подсистемах такого рода гипотетической системы, и среднее время пребывания в ней требования, как правило, превышают значения соответствующих операционных характеристик реальных многоканальных систем. Это объясняется тем, что если бы мы применили нашу гипотетическую систему на практике, то обнаружилось бы, что чаще, чем это можно предположить, один из обслуживающих приборов находился бы в незанятом состоянии, в то время как требования простаивали бы в очередях к другим приборам. Если же предположить, что в системе с несколькими обслуживающими приборами очередь является единой и характеризуется дисциплиной «первым пришел — первым обслуживаешься», то соответствующие аппроксимирующие оценки ожидаемого количества требований в системе и среднего времени, потраченного каждым требованием на ожидание обслуживания, окажутся заниженными по сравнению с фактическими значениями упомянутых показателей.

Можно с удовлетворением отметить, что системы с одним обслуживающим прибором, как и многие многоканальные системы с единой очередью, характеризующейся дисциплиной «первым пришел — первым обслуживаешься», как правило, поддаются математическому описанию и количественному анализу.

Описание модели. Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания (т. е. модель типа M/М/П). Другими словами, предполагается, что

Пусть в некоторый момент времени число находящихся в системе требований, включая уже обслуживаемые требования, равняется п. Предположим, что система начинает функционировать с момента t = 0, и определим

Вообще говоря, Рп (Т) зависит от количества требований i, находившихся в системе в момент 0; однако в (2) индекс i нами опущен. Пусть h> 0 есть интервал времени очень малой продолжительности. Если в момент Т +h количество требований в системе равняется , то мы будем считать, что количество требований, которое могло находиться в системе в момент Т, равняется либо п — 1, либо п, либо п + 1; всеми прочими вероятностями мы пренебрегаем как величинами более высокого порядка малости. Таким образом, при п >> 0 для малых значений h

Первое слагаемое в правой части (3) соответствует возможности одного поступления при отсутствии выходов из системы в случае п — 1 требований внутри системы в момент Т. Второе и третье слагаемые отражают соответственно возможность отсутствия как поступлений, так и выходов и возможность одного поступления и одного выхода в случае нахождения внутри системы в момент Т п требований. Последний член в правой части соотношения (3) соответствует возможности одного выхода из системы при отсутствии поступлений в случае нахождения внутри системы в момент Т п требований. Как показывает символ да, выражение (3) является приближенным [точное выражение для Рп (Т — n) содержало бы члены с коэффициентами hk, где k ≥ 2].

 Скачать реферат