Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам

а

Здесь и - 'элементарная абелева и циклическая подгруппы порядка . Из теоре

мы 2.10 [15] получаем, что - простое число.

В случае, когда и - простые числа в простой группе , каждая несверхразрешимая подгруппа изоморфна группе . Последняя подгруппа имеет в циклическое дополнение . Поэтому группа в случае, когда и - простые числа, удовлетворяет условию теоремы.

Проверим, что группа не удовлетворяют условию теоремы. Пусть

Известно, что - нормальная в подгруппа, а - циклическая группа порядка . Для силовской -подгруппы из имеем

Теперь

Поскольку и - простые числа, то в существует подгруппа порядка . Для подгруппа -замкнута, и внешний автоморфизм не централизует силовскую -подгруппу, поэтому несверхразрешима. Так как в нет нильпотентной подгруппы порядка , то не удовлетворяет условию теоремы при . Если , то в для подгруппы Шмидта, изоморфной знакопеременной группе степени , должна найтись нильпотентная подгруппа порядка, делящегося на . Но такой нильпотентной подгруппы в нет.

Итак, если , то изоморфна , где и - простые числа.

Пусть теперь . Предположим, что не является минимальной нормальной в подгруппой, и пусть - минимальная нормальная в подгруппа, содержащаяся в . По индукции, , где - нильпотентна, а изоморфна или . Так как , то - собственная в подгруппа, и для её прообраза в группе по индукции получаем, что , где или . Подгруппа характеристична в , а нормальна в , поэтому нормальна в . Так как

то

Поскольку для несверхразрешимой подгруппы из существует нильпотентная подгруппа такая, что , то

 Скачать реферат